最小生成树心得

定义：

在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和一部分边构成一个子图G’ , 即：

V( G ' ) = V( G );

E( G ')∈E( G );

若边集E( G ')中的边既将图中的所有顶点联通又不形成回路（回路：首尾节点相同），则称子图G'是原图G的一颗生成树。

一颗含有n个点的生成树，必含有n-1条边。

具有权最小的生成树称为最小生成树。

归纳：

生成树：

• 无向连通图的边的集合
• 无回路
• 连接所有点最小

• 所有边的权值之和最小

算法：

• prim算法
• kruskal算法

         Prim算法实现

  .图节点数目为n，正在构造的生成树为T

  .维护dis数组，dis[i]表示vi到T的距离

  .开始所有的dis[i]=无穷大，T为空集

  1.若|T|=n，最小生成树完成。否则取dis[i]最小的不在T中的点vi加入T

  2.更新所有与有边相连且不在T中的点vj的dis值：dis[j]=min(dis[j] , w(vi,vj));

  3.转到1；

  

       关键问题

  .每次如何从连接T中和T外顶点的所有边中，找到一条最短的。

  1.如果用邻接矩阵存图，而且选取最短边的时候遍历所有点进行选取，则总时间复杂度为（V²），V为顶点个数。

  2.用邻接表存图，并使用堆来选取最短边，则总时间复杂度为O（ElogV）

  3.不加堆优化的Prim算法适用于密集图（稠密图），加堆优化的适用于稀疏图。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int INFINITE = 1 << 30;
struct Edge
{
int v; //边端点，另一端点已知
int w; //边权值，也用来表示v到在建最小生成树的距离
Edge(int v_ = 0, int w_ = INFINITE):v(v_),w(w_) { }
bool operator <(const Edge & e) const
{
return w > e.w; //在队列里，边权值越小越优先
}
};
vector< vector <Edge> > G(110); //图的邻接表int HeapPrim(const vector<vector<Edge> > & G, int n)
//G是邻接表,n是顶点数目，返回值是最小生成树权值和
{
int i,j,k;
Edge xDist(0,0);
priority_queue<Edge> pq; //存放顶点及其到在建生成树的距离
vector<int> vDist(n); //各顶点到已经建好的那部分树的距离
vector<int> vUsed(n);//标记顶点是否已经被加入最小生成树
int nDoneNum = 0; //已经被加入最小生成树的顶点数目
for( i = 0;i < n;i ++ ) {
vUsed[i] = 0;
vDist[i] = INFINITE;
}
nDoneNum = 0;
int nTotalW = 0; //最小生成树总权值
pq.push(Edge(0,0)); //开始只有顶点0，它到最小生成树距离0while( nDoneNum < n && !pq.empty() ) {
do {//每次从队列里面拿离在建生成树最近的点
xDist = pq.top(); pq.pop();
} while( vUsed[xDist.v] == 1 && ! pq.empty());
if( vUsed[xDist.v] == 0 ) {
nTotalW += xDist.w; vUsed[xDist.v] = 1; nDoneNum ++;
for( i = 0;i < G[xDist.v].size();i ++ ) {//更新新加入点的邻点
int k = G[xDist.v][i].v;
if( vUsed[k] == 0) {
int w = G[xDist.v][i].w ;
if( vDist[k] > w ) {
vDist[k] = w;
pq.push(Edge(k,w));
}
}
}
}
}
if( nDoneNum < n )
return -1; //图不连通
return nTotalW;
}
考察了所有的边，且考察一条边时 可能执
行 pq.push(Edge(k,w)) 故复杂度O(ELogV)int main()
{
int N;
while(cin >> N) {
for( int i = 0;i < N; ++i)
G[i].clear();
for( int i = 0; i < N; ++i)
for( int j = 0; j < N; ++j) {
int w;
cin >> w;
G[i].push_back(Edge(j,w));
}
cout << HeapPrim(G,N) << endl;
}
}

                  Kruskal算法

  .假设G=（V，E）是一个具有n个顶点的连通图，T=（U，TE）是G的最小生成树，U=V，TE初值为空。

  .将图G中的边按权值从小到大依次选取，若选取的边使生成树不形成回路，则把它并入TE中，若形成回路则将其舍弃，知道TE中包含n-1条边为止，此时T为最小生成树。