乘法逆元及其求法
1.乘法逆元定义:在wiki中也叫倒数,当然是% p 后的,其实就是倒数。如果ax≡1(mod p),且gcd(a,p)=1(a与p互质),则称a关于模p的乘法逆元为x。
在求解除法取模问题(a/b)%m时,我们可以转化为(a%(b∗m))/b,
但是如果b很大,则会出现爆精度问题,所以我们避免使用除法直接计算。
可以使用逆元将除法转换为乘法:
假设b存在乘法逆元,即与m互质(充要条件)。设c是b的逆元,即b∗c≡1(modm),那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)
即,除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。
- 逆元求解一般利用扩欧。
- 当m为质数的时候直接使用费马小定理,m非质数使用欧拉函数。
- 当m为质数的时候,神奇的线性方法。
2.费马小定理:假如a是一个整数,p是一个质数,那么是a的倍数,可以表示为
如果a不是p的倍数,也可以写成
3.拓展欧几里得:已知整数a,b,拓展欧几里得算法可以在求得a,b的最大公约数的同时,能找到整数x,y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式
4.分析乘法逆元:ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1,即 a%p * x%p = res, res % p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式 - -。那么问题来了。
5.为什么可以用扩展欧几里得求得逆元?我们知道模就是余数,比如12%5=12-5*2=2,18%4=18-4*4=2 那么ax ≡ 1(mod p)即 ax - yp =1.把y写成+的形式就是ax+py=1,为方便理解下面,我们把p写成b就是ax + by=1。就表示x是a的模b乘法逆元,y是b的模a乘法逆元。然后就可以用欧几里得求。
6.乘法逆元有什么用?做题时如果结果过大一般都会让你模一个数,确保结果不是很大,而这个数一般是1e9+7,而且这个数又是个素数,加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果,但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数,如果原本的结果中有除法,比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。(除一个数等于乘它的倒数,虽然这里的逆元不完全是倒数,但可以这么理解,毕竟乘法逆元就是倒数的扩展)。
拓展欧几里得求逆元代码:【时间复杂度为O(logn)】
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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y) { if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); } } ll inv(ll a, ll p) { ll d, x, y; exgcd(a, p, d, x, y); return d == 1 ? (x+p)%p : -1; } int main() { ll a,p; while(1) { scanf("%lld %lld",&a,&p); printf("%lld ",inv(a,p)); } }
费马小定理求逆元代码:【O(log2N),在几次测试中,常数似乎较上种方法大】
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ll power_mod(ll a, ll b, ll mod) { ll ans = 1; while (b) { if (b & 1) ans = ans * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return ans; } inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);
当模p不是素数的时候需要用到欧拉定理
欧拉定理求逆元代码:【O(√n),即求出单个欧拉函数的值】
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int eurler_phi(int n) { int res = n; for(int i = 2; i * i <= n; i++){ if(n % i == 0){ res = res / i * (i - 1); while(n % i == 0) n /= i; } } if(n != 1) res = res / n * (n - 1); return res; }
例题:
输入2个数M, N中间用空格分隔(1 <= M < N <= 10^9)
输出一个数K,满足0 < K < N且K * M % N = 1,如果有多个满足条件的,输出最小的。
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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y) //拓展欧几里得 { if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); } } ll inv(ll a, ll p) // { ll d, x, y; exgcd(a, p, d, x, y); return d == 1 ? (x+p)%p : -1; } int main() { ll a,p; while(~scanf("%lld %lld",&a,&p)) { printf("%lld ",inv(a,p)); } }
参考:乘法逆元小结+ 逆元的几种求法(扩展欧几里得,费马小定理或欧拉定理,特例,打表等)+ ACM数论之旅6---数论倒数,又称逆元(我整个人都倒了( ̄﹏ ̄))