HRBUST 1211 火车上的人数【数论解方程/模拟之枚举+递推】

火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。
从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。
现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。
试问x站开出时车上的人数是多少？
Input有多组测试数据。
每组测试数据仅包含一行，每行包括四个整数，a，n，m和x。
0<= a <= 10
3<= n <= 30
1 <= x < n
0 <= m <= 2^31-1
Output对于每组测试数据，输出一行，包括一个整数，即从x站开出时车上的人数。Sample Input5 7 32 4Sample Output13

【分析】：

1.枚举第二站上下车的人数，根据题目给出的递推关系判断是否正确。递推关系题目描述得很清晰，数据规模也完全没有问题。

记第i站车上人数为f[i],上车人数为up[i],下车人数为down[i]

第一站人数为a则f[1]=a,up[1]=a,down[1]=0;

枚举第二站上下车的人k(0<=k<=m)

up[2]=down[2]=k;f[2]=f[1]+up[2]-down[2]=a;

第i站(3<=i<n)：

up[i]=up[i-1]+up[i-2];

down[i]=up[i-1];

f[i]=f[i-1]+up[i]-down[i]

=f[i-1]+up[i-2];

由此我们第i站车上的乘客和down并没有关系

所以我们只要递推up和f

如果f[n-1]=m的话就得到了答案

————————————————————————————————————————————————————————

注意由于题目没有给出数据范围，不要把整个f和up开出来，直接使用临时变量递推

实际数据范围只要开到100就行

(不加优化即可过这道题，不过还是讲讲优化)

优化1

由于f是单调递增的可以二分查找

优化2

递推可以试试矩阵快速幂

【代码】：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000
using namespace std;
long long up[10000],down[10000],s[10000];
int main()
{
    long long a,n,m,x,flag,i,j;
    while(cin>>a>>n>>m>>x)
    {
        memset(s,0,sizeof(s));
        up[1]=a;
        flag=0;
        down[1]=0;
        s[1]=a;
        for(i=0;i<=m;i++)
        {
            up[2]=i;
            down[2]=i;
            s[2]=s[1];
            for(j=3;j<n;j++)
            {
                up[j]=up[j-1]+up[j-2];
                down[j]=up[j-1];
                s[j]=s[j-1]+up[j-2];
            }
            if(s[n-1]==m)
            {
                flag=1;
                printf("%lld
",s[x]);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,n,m,x; 
int u[100005],c[100005];
int main()
{
        cin>>a>>n>>m>>x;
        u[1]=a;
        c[1]=a;
        c[2]=a;
        for(int k=0;k<=m;k++)
        {
                u[2]=k;
                for(int i=3;i<n;i++)
                {
                        u[i]=u[i-1]+u[i-2];
                        c[i]=c[i-1]+u[i-2];
                }
               if(c[n-1]==m)
               {
                       cout<<c[x];
                       return 0;
               }
        }
}

//数论
/* 
 * 第几站   上车        下车         车上人数 
 * 1          a1          0             a1 
 * 2          a2          a2            a1 
 * 3         a1+a2        a2            a1+a1 
 * 4         a1+a2+a2     a1+a2         a1+a1+a2 
 * 5    a1+a2+a1+a2+a2    a1+a2+a2      a1+a1+a2+a1+a2  
 * .           .            .               . 
 * .           .            .               . 
 * .           .            .               . 
 * 到最后一站的人数就是m ，全部下完 
 * 思路，只要统计出a1个数和a2的个数就能求出a2，其中a1已经给出，m的数量就是n-1车站的开车的人数 
 * a2=(m-a1*a1的个数)/a2的个数 
*/

　　

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int A[35];
int B[35];
void f(){
    A[1]=1,A[2]=1,A[3]=1;
    A[4]=2,A[5]=3;
    for(int i=6;i<=30;i++)
        A[i]=A[i-1]+A[i-2]-1;
}
void ff(){
    B[1]=1,B[2]=1,B[3]=1;
    B[4]=1,B[5]=2;
    for(int i=6;i<=30;i++)
        B[i]=B[i-1]+B[i-2]+1;
}
int main()
{
   int a,n,m,x;
   f();
   ff();
   while(~scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x)){
    int b[35];
    memset(b,0,sizeof(b));
    b[1]=a;
    b[2]=a;
    b[3]=2*a;
    int xx=(m-A[n-1]*a)/B[n-1];
    for(int i=4;i<=30;i++)
        b[i]=A[i]*a+B[i]*xx;
    printf("%d
",b[x]);
   }
   return 0;
}