百练 04 简单的整数划分问题

原文地址：http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求.

 

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;
第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7
2
3
3
3

提示

样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决

 

一 求将n划分为若干正整数之和的划分数

 

1. 若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

 

　　(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

 

　　(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

 

　　(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

 

dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。

 

2. 若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

 

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

 

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

 

　　(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

 

dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.

 

二.将n划分为k个整数的划分数

 

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

 

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

 

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

 

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

 

dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。

 

 

三.将n划分为若干正奇数之和的划分数

 

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

 

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以g[i][j] = f[i-j][j]。

 

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

 

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

 

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

 

参考: [1]  http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

         [2]  http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

 

实现代码:

网上关于本题的实现代码都是C语言写的, 而且有过多的计算. 本来根据用户的输入规模n, 直接计算n*n的矩阵就可以了, 但是网上的代码计算的是N*N, N是个预设的值, 而且比n大很多, 这样就影响了程序的速度.

 

---

 

描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

2
3
3

提示
第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

分析

整数划分问题这几个变形确实很经典，需要一个个说明下：
设dp[n][m]表示数n划分方案中，每个数 不大于m 的划分数。

N划分成若干个可相同正整数之和

划分分两种情况：

• 划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。
• 划分中至少有一个数等于m：则从n中减去去m，然后从n-m中再划分，则划分数为dp[n-m][m]。

动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]。

N划分成若干个不同正整数之和

划分分两种情况：

• 划分中每个数都小于m：则划分数为dp[n][m-1]。
• 划分中至少有一个数等于m：则从n中减去m，然后从n-m中再划分，且再划分的数中每个数要小于m, 则划分数为dp[n-m][m-1]。

动态转移方程：dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]。

N划分成K个正整数之和

设dp[n][k]表示数n划分成k个正整数之和时的划分数。
划分分两种情况：

• 划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，之后在n-k中再划分k份，即dp[n-k][k]。
• 划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为dp[n-1][k-1]。

动态转移方程：dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]。

N划分成若干个奇正整数之和

设f[i][j]表示将数i分成j个正奇数，g[i][j]表示将数i分成j个正偶数。
首先如果先给j个划分每个分个1，因为奇数加1即为偶数，所以可得：
f[i-j][j] = g[i][j]。
划分分两种情况：

• 划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出k个1分到每一份，刚可将问题转换为”从i-j中划分j个偶数”，即g[i-j][j]。
• 划分中包含1：则从n中减去1，然后从n-1中再划分k-1份, 则划分数为dp[n-1][k-1]。

动态转移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 51
int dp1[N][N];    //N划分成K个正整数之和的划分数目。
int dp2[N][N];    //N划分成若干个不同正整数之和的划分数目。
int dp3[N][N];    //N划分成若干个可相同的正整数之和的划分数目。
int f[N][N];      //N划分成K个奇正整数之和的划分数目。
int g[N][N];      //N划分成K个偶正整数之和的划分数目。

void initDivideInt() {
    memset(dp1, 0, sizeof(dp1));  //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]
    memset(dp2, 0, sizeof(dp2));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]
    memset(dp3, 0, sizeof(dp3));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]

    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 1; j < N; j++) {
            if (i < j) {
                dp1[i][j] = 0;
                dp2[i][j] = dp2[i][i];
                dp3[i][j] = dp3[i][i];
            }
            else if (i == j) {
                dp1[i][j] = 1;
                dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1;
                dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1;
            }
            else {
                dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1];
                dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];
                dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j];
            }
        }
    }
}

//f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
void initDivideOdd() {
    f[0][0] = 1;
    g[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            g[i][j] = f[i - j][j];
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
        }
    }
}

int main() {
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, k;
    initDivideInt();
    initDivideOdd();
    while (cin >> n >> k) {
        cout << dp1[n][k] << endl;
        cout << dp2[n][n] << endl;

        int sum = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            sum += f[n][i];
        }
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}

---

view plain copy

    /* 
       整数划分 
       （一）将n划分成若干不同整数之和的划分数 
       （二）将n划分成若干正整数之和的划分数 
       （三）将n划分成k个正整数之和的划分数 
       （四）将n划分成最大数不超过k的划分数 
       （五）将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数 
    */  
    #include<iostream>  
    #include<cstdio>  
    #include<cstdlib>  
    #include<cmath>  
    #include<cstring>  
    #include<vector>  
    #include<queue>  
    #include<set>  
    #include<map>  
    #include<algorithm>  
    #include<sstream>  
    #define eps 1e-9  
    #define pi acos(-1)  
    #define INF 0x7fffffff  
    #define inf -INF  
    #define MM 12900  
    #define N 50  
    using namespace std;  
    typedef long long ll;  
    const int _max = N + 10;  
      
    int dp[_max][_max],n,k,out[6];  
      
    int main(){  
        #ifndef ONLINE_JUDGE  
        freopen("input.txt","r",stdin);  
        #endif // ONLINE_JUDGE  
        while(scanf("%d%d",&n,&k)==2){  
          /*****************整数划分（二）******************/  
          memset(dp,0,sizeof(dp));  
          dp[0][0] = 1;  
          for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
            for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
              if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];  
              else dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];  
            }  
          out[1] = dp[n][n];  
          /*****************整数划分（四）******************/  
          out[3] = dp[n][k];  
          /*****************整数划分（三）******************/  
          memset(dp,0,sizeof(dp));  
          dp[0][0] = 1;  
          for(int i = 1; i <= N; ++ i)  
            for(int j = 1; j <= i; ++ j){  
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];  
          }  
          out[2] = dp[n][k];  
          /*****************整数划分（五）******************/  
          memset(dp,0,sizeof(dp));  
          dp[0][0] = 1;  
          for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
           for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
             if(j&1){  
                if(j>i)dp[i][j] = dp[i][i];  
                else dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1];  
             }  
             else dp[i][j] = dp[i][j-1];  
           }  
           out[4] = dp[n][n];  
          /*****************整数划分（一）******************/  
          memset(dp,0,sizeof(dp));  
          dp[0][0] = 1;  
          for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
            for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
              if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];  
              else dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];  
            }  
          out[5] = dp[n][n];  
          /*****************输出******************/  
          for(int i = 1; i<= 5; ++ i)  
            printf("%d
",out[i]);  
          printf("
");  
        }  
        return 0;  
    }  
    /* 
    /*****（一）将n划分成若干不同整数之和的划分数************ 
       dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况 
       dp[0][0] = 1 
       dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];(j<=i) 
                = dp[i][i]                (j >i) 
       =>ans = dp[n][n] 
     
    /*****（二）将n划分成若干正整数之和的划分数************* 
       dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况 
       与（一）区别，j可重复 
       dp[0][0] = 1 
       dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
                = dp[i][i]                (j >i) 
       =>ans = dp[n][n] 
     
    /*****（三）将n划分成k个正整数之和的划分数************* 
       dp[i][j]表示将整数i划分成j个正整数的划分数，考虑j组数中含不含1 
       dp[0][0] = 1 
       dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]; 
       如果不包含1，那么每组数至少为2，从每堆数中各拿出1还能够成j堆数dp[i-j][j] 
       =>ans = dp[n][k] 
    /*****（四）将n划分成最大数不超过k的划分数************ 
       dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况 
       是（二）的特例 
       dp[0][0] = 1 
       dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
                = dp[i][i]                (j >i) 
       =>ans = dp[n][k] 
    /*****（五）将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数****** 
       dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况 
       dp[0][0] = 1; 
       j是奇数，正常判断 
                         dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
                                  = dp[i][i]                (j >i) 
       j是偶数,dp[i][j] = dp[i][j-1]//往下递推 
       =>ans = dp[n][n] 
    */