「dsu on tree」学习笔记（优雅的暴力）

「dsu on tree」学习笔记（优雅的暴力）

前置芝士

• 半熟练剖分

基本概念

• (dsu)：并查集

• (on tree)：在树上

即在树上的并查集

行吧，跟名字没多大关系。

可以通俗的理解为暴力，一般用来处理以下性质的问题：

• 一个根的答案由子树来贡献

• 不含任何修改操作

有同学可能就问了，这用点分治不就可以了吗？

两者有点差别：

• 点分治一般处理的是无根树，而 (dsu) 处理的是有根树。

• 点分治的效率是 (nlog_n^2)，而 (dsu) 的效率是 (nlog_n) 。

基本思路

拿一个例题：CF600E Lomsat gelral

---

首先考虑暴力如何去做：

• 枚举每一个根，直接暴搜它的子树所有节点，统计答案即可，时间负责度 (Theta (n^2)) 。

• 预处理出来每个子树的颜色序列，存起来，直接上传到其父亲即可，空间复杂度 (Theta (n^2)) 。

显然两种暴力都不可取，但是两种暴力都各有所长，我们就将其长处融合在一起：(dsu) 。

---

• 根据暴力一的思路，我们可以将其每个轻儿子的子树暴力统计，每次统计完后直接清除即可。

• 根据暴力二的思路，我们可以不用将重儿子的答案清除，直接用于统计答案即可。

所以这样，我们既保证了时间效率的较优，又保证了空间负责度的合理，就可以很好的处理这个问题了。

• 小细节（决定成败）：当你暴力统计轻儿子的子树答案时，将重儿子的子树跳过即可。

(u1s1)，通俗（(dsu)）易懂。

板板题代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int n;
int col[maxn], ans[maxn];

struct Edge {
	int to, next;
}e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int size[maxn], son[maxn];

inline void DFS1 (register int u, register int fa) { // 熟练剖分，统计重儿子
	size[u] = 1;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa) continue;
		DFS1 (v, u);
		size[u] += size[v];
		if (size[son[u]] < size[v]) son[u] = v;
	}
}

int cnt[maxn], sum, maxx, Son;

inline void Query (register int u, register int fa, register int w) {
	cnt[col[u]] += w;
	if (cnt[col[u]] > maxx) maxx = cnt[col[u]], sum = col[u]; // 更新答案
	else if (cnt[col[u]] == maxx) sum += col[u];
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || v == Son) continue; // 跳过记录的重儿子
		Query (v, u, w);
	}
}

inline void DFS2 (register int u, register int fa, register bool opt) { // opt = 1,表示不用清除，即重儿子；opt = 0,清除，即轻儿子
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || v == son[u]) continue; // 重儿子要跳过
		DFS2 (v, u, 0); // 轻儿子向下递归
	}
	if (son[u]) DFS2 (son[u], u, 1), Son = son[u]; // 重儿子向下递归
	Query (u, fa, 1), Son = 0; // 统计轻儿子的答案
	ans[u] = sum; // 记录答案
	if (opt == 0) Query (u, fa, -1), sum = 0, maxx = 0; // 轻儿子清除
}

signed main () {
	n = read();
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
		col[i] = read();
	}
	for (register int i = 1; i < n; i ++) {
		register int u = read(), v = read();
		Add (u, v), Add (v, u);
	}
	DFS1 (1, 0);
	DFS2 (1, 0, 1);
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) {
		printf ("%lld ", ans[i]);
	}
	puts ("");
	return 0;
}

例题

射手座之日

其实这个题用线段树可做，但是在某谷上交会暴内存，但是好像还是有人卡过了。

在这儿冲一发 (dsu) 的题解～～～

---

首先我们考虑这个题的性质：

• 一个子树里的若干个结点，其 (LCA) 一定在这个子树内。

• 若在 (a) 序列中，有一段区间的点，都在同一个子树内，则有 (frac {len imes (len - 1)}{2}) 的区间数，即方案为 (LCA) 在这颗子树的方案数。

---

我们会发现，某个根节点的答案会由其子树贡献过来，这样我们就可以用 (dsu) 了。

连续段

若一颗子树内若干个节点能够形成一段区间，那么它们在 (a) 序列里是连续的，(rank(rank[a[i]]= i)) 就是连续的。

所以我们在便历一颗子树的时候，将每一个节点的 (rank) 值用一个 (tmp) 数组维护，(tmp[rank[u]]) 表示 (u) 节点在当前统计过的若干个节点，(rank[u]) 作为一个极长区间的左/右端点时，这个区间的长度。

若一颗子树的所有节点放到一个序列里，(rank) 值有连续的，就会有一段区间，则这个区间形成的方案数为 (frac {len imes (len - 1)} {2})。

合并

当我们插入一个数 (x)（某个节点的 (rank) 值），我们就可以将 (x - 1) 和 (x + 1) 所在的区间合并起来，并将 (tmp) 数组更新。

inline void Query (register int u) {
	register int tmp1 = tmp[rank[u] - 1], tmp2 = tmp[rank[u] + 1]; // 得到左边区间的长度，右边区间的长度
	register int len = tmp1 + tmp2 + 1; // 合并后区间的长度
	tmp[rank[u] - tmp1] = tmp[rank[u] + tmp2] = len; // 将合并后的区间的左右端点的tmp更新
	tmpans += len * (len - 1) / 2 - tmp1 * (tmp1 - 1) / 2 - tmp2 * (tmp2 - 1) / 2; // 注意减掉之前统计过的贡献
}

答案统计

但是我们会发现，我们统计的只是 (LCA) 在其子树内的方案数，举个栗子：

以 (3) 为根节点的子树，我们统计出来的答案是以 (3,4,5) 为 (LCA) 的答案和。

以 (6) 为根节点的子树，我们统计出来的答案是以 (6) 为 (LCA) 的答案和。

以 (2) 为根节点的子树，我们统计出来的答案是以 (2,3,4,5,6) 为 (LCA) 的答案和。

那么我们将 (2) 的答案减去其子树 (3,6) 的答案，就可以得出以 (2) 为 (LCA) 的答案。

最后乘上权值即可。

还有，我们会发现，我们只是统计了区间长度 (geqslant 2) 的贡献，我们只需在求一个 (sumval) 加到答案上即可。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define int long long

using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int n, ans, sumval;
int a[maxn], val[maxn], rank[maxn];

struct Edge {
	int to, next;
}e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

inline void Add (register int u, register int v) {
	e[++ tot].to = v;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

int size[maxn], son[maxn];

inline void DFS1 (register int u, register int fa) {
	size[u] = 1;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa) continue;
		DFS1 (v, u);
		size[u] += size[v];
		if (size[son[u]] < size[v]) son[u] = v;
	}
}

int tmp[maxn], nowans, tmpans, num[maxn], Son;

/*
nowans 表示以u为根节点的子树，以u为LCA的方案数
tmpans 表示以u为根节点的子树，以其子树里的点为LCA的方案数
num[u] 表示以u为根节点的子树，以其子树里的点为LCA的方案数
tmp[u] 表示以u为某个区间的左右端点，这个区间的长度
*/

inline void Query (register int u) {
	register int tmp1 = tmp[rank[u] - 1], tmp2 = tmp[rank[u] + 1]; // 得到左边区间的长度，右边区间的长度
	register int len = tmp1 + tmp2 + 1; // 合并后区间的长度
	tmp[rank[u] - tmp1] = tmp[rank[u] + tmp2] = len; // 将合并后的区间的左右端点的tmp更新
	tmpans += len * (len - 1) / 2 - tmp1 * (tmp1 - 1) / 2 - tmp2 * (tmp2 - 1) / 2; // 注意减掉之前统计过的贡献
}

inline void Clear (register int u, register int fa) { // 清空操作
	tmp[rank[u]] = 0;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa) continue;
		Clear (v, u);
	}
}

inline void DFS3 (register int u, register int fa) { // 暴力统计轻儿子答案
	Query (u);
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || v == Son) continue;
		DFS3 (v, u);
	}
}

inline void DFS2 (register int u, register int fa, register bool opt) {
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || v == son[u]) continue;
		DFS2 (v, u, 0);
	}
	if (son[u]) DFS2 (son[u], u, 1), Son = son[u];
	DFS3 (u, fa), Son = 0;
	nowans = num[u] = tmpans;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		nowans -= num[v]; // 减去子树的num，只要以u为LCA的答案
	}
	ans += nowans * val[u]; // 统计答案
	if (opt == 0) Clear (u, fa), tmpans = 0; // 轻儿子清空
}

signed main () {
	n = read();
	for (register int v = 2; v <= n; v ++) {
		register int u = read();
		Add (u, v), Add (v, u);
	}
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = read(), rank[a[i]] = i;
	for (register int i = 1; i <= n; i ++) val[i] = read(), sumval += val[i];
	DFS1 (1, 0);
	DFS2 (1, 0, 1);
	printf ("%lld
", ans + sumval);
	return 0;
}