「反演」学习笔记

「反演」学习笔记

小声bb：本来看skyh推的博客，是来学容斥的，莫名其妙被强塞了反演

概念

好多童鞋还不知道啥是反演，反正听起来挺牛逼的，谁会谁被膜。

比如说有两个未知量 (x,y)，我们用 (x) 表达出来了 (y)，比如一个一次函数：

[y=kx+b ]

那么我们用 (y) 表示 (x) 就是：

[x=frac{y-b}{k} ]

(emmmm)，这差不多就是个反演。

然后我们就搞高级一点：

假设有两个函数 (f) 和 (g) 满足：

[f[n] = sum_{k}a_{n,k} imes g[k] ]

已知 (f) 求 (g) 的过程就叫做「反演」。

二项式反演

例题

有 (n) 个小盆友，每个人有一个编号 (1,2...,n) 。

将这 (n) 个小盆友排成一列，编号为 (i) 的小盆友不能在第 (i) 个位置。

求出所能排队的方案数，(nleq 10^5) 。

简单容斥（听说小学生都会？？）

• 假设 (n=3) 。

我们拿出高一老师（？？）常拿的韦恩图像：

定义：

(A) 集合：编号为 (1) 的小盆友站到 (1) 的方案数。

(B) 集合：编号为 (2) 的小盆友站到 (2) 的方案数。

(C) 集合：编号为 (3) 的小盆友站到 (3) 的方案数。

我们要求的就是 (n! - |Acup Bcup C|)，用简单的容斥可得：

(ans=n! - (|A|+|B|+|C|-|Acap B|-|Bcap C|-|Acap C|+ |Acap Bcap C|))

得出公式

我们可以大胆猜想：

[ans = sum_{k=0}^{n}(-1)^k imes inom{n}{k} imes (n - k)!;(假设 0! = 1) ]

• 什么意思？

(inom{n}{k} imes (n - k)!) 表示强硬的将 (k) 个人放到自己应该放的位置（(i) 放到第 (i) 个位置），剩下 (n-k) 个人随便放的方案数。

• 为啥要加一个 ((-1)^k)？

比如说你加上了一个 (k=2) 的方案数，强硬地将 (2) 个人，后面我们统计 (k=3) 时，我们会发现：在前面 (k=2) 时，可能有某个小盆友被放到了自己应该放的位置，所以要

减去这些被多余统计的方案，加法同理。

新定义

定义 (f[n]) 表示 (n) 个人随便站的方案数。

定义 (g[n]) 表示 (n) 个人都不站在自己应该在的位置的方案数。

这样我们直接枚举有多少个人站错位置，便可求出 (f[n])。

[f[n]=sum_{k=0}^{n} imes inom{n}{k} imes g[k] ]

但是我们会发现，我们可以直接用 (f[n] = n!) 求出 (f[n])，而且我们还不会求出 (g[n])，难受～～～

小钥匙

我们会发现之前解决那个例题的公式中有一个这个东东：

[sum_{k=0}^{n}(-1)^k imes inom{n}{k} ]

易得：这个东东只有 (n=0) 时才为 (1)，否则即为 (0) 。

• 我们再引进一个神犇数学符号：([P])，表示条件 (P) 符合时，为 (1)；否则即为 (0)，（好像一个 (bool)）。

所以上面那个东东就可以化为：

[sum_{k=0}^{n}(-1)^k imes inom{n}{k}=[n=0] ]

反演

之前我们新定义里：

用 (g[n]) 表示出了 (f[n])，然而我们并不知道 (g[n])，反而知道 (f[n])，我们就需要一些骚操作（繁衍呸，反演），来求出 (g[n]) 。

说一句废话：

[g[n] = sum_{m=0}^{n}[n=m] imes inom{n}{m} imes g[m] ]

改一下这个废话：

[g[n] = sum_{m=0}^{m}[n-m=0] imes inom{n}{m} imes g[m] ]

哦！！！中间那个条件，我们是不是可以用一下那个小钥匙？

[g[n] = sum_{m=0}^{n} sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k imes inom{n-m}{k} imes inom{n}{m} imes g[m] ]

看一看中间那两个恶心的组合数：

可以考虑为从 (n) 个物品里，先选 (m) 个，再从 (n-m) 个里选 (k) 个的方案数。

可以变为为从 (n) 个物品里，先选 (k) 个，再从 (n-k) 个里选 (m) 个的方案数，组合数可以变为： (inom{n-k}{m} imes inom{n}{k}) 。

原式变为：

[g[n] = sum_{m=0}^{n} sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k imes inom{n-k}{m} imes inom{n}{k} imes g[m] ]

交换一下：

[g[n] = sum_{m=0}^{n} sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k imes inom{n-k}{m} imes g[m] imes inom{n}{k} ]

然后将 (m) 和 (k) 交换一下：

[g[n] = sum_{k=0}^{n} sum_{m=0}^{n-k}(-1)^k imes inom{n-k}{m} imes g[m] imes inom{n}{k} ]

再次交换：

[g[n] = sum_{k=0}^{n} (-1)^k imes inom{n}{k} sum_{m=0}^{n-k} inom{n-k}{m} imes g[m] ]

诶！！后面那个东东就是 (f[n - k])，可，我们成功了！！！

[g[n] = sum_{k=0}^{n} (-1)^k imes inom{n}{k} imes f[n-k] ]

(emmmm)，好丑，写好看一点：

[g[n] = sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} imes inom{n}{k} imes f[k] ]

得出结果

[f[n]=sum_{k=0}^{n} imes inom{n}{k} imes g[k] ]

[g[n] = sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} imes inom{n}{k} imes f[k] ]

这个好像就是二项式反演

可能与 (A) 层的巨佬们学的有点不同，有错误，请见谅我这个蒟蒻。

莫比乌斯反演

例题

小盆友学英语，他拿到 (26) 个小写字母，他拼出若干个长度为 (n) 的字符串，求出有多少个字符串的循环节恰好为 (n)，(nleq 10^9) 。

连小盆友都知道循环节是啥，不用我说吧....（最短的一个子串复制若干遍后拼起来跟原串相等的字符串）。

新定义

定义 (f[n]) 表示长度为 (n) 的字符串的个数，显然是 (26^n) 。

定义 (g[n]) 表示长度为 (n) 且循环节长度为 (n) 的字符串的个数。

可以得出：

[f[n] = sum_{d|n}g[d] ]

小钥匙

上次我们用了一个条件表达式，打开了反演的关键，这个我们同样搞一个：

定义一个 (mu[n]) 满足：（莫某某某搞的）

[sum_{d|n}mu[d] = [n=1] ]

其实这个就是莫比乌斯函数，至于性质，可以看一眼龙蝶的。

反演

同样，我们说一句废话：

[g[n] = sum_{m|n}[n=m] imes g[m] ]

将条件表达式变一下：

[g[n] = sum_{m|n}[frac{n}{m}=1] imes g[m] ]

好，用我们的小钥匙：

[g[n] = sum_{m|n}sum_{d|frac{n}{m}} imes mu[d] imes g[m] ]

上次我们将 (m) 和 (k) 进行了交换，这次怎么处理呢？

我们会发现 (n) 能将 (m) 整除，(frac{n}{m}) 能将 (d) 整除，所以我们可以得出 (n) 既能将 (m) 整除，又能将 (d) 整除，这样我们就可以将 (m) 和 (k) 交换了。

[g[n] = sum_{d|n}sum_{m|frac{n}{d}} imes mu[d] imes g[m] ]

交换一下：

[g[n] = sum_{d|n} imes mu[d]sum_{m|frac{n}{d}} imes g[m] ]

不错，后面那个东东又可以化为我们的 (f)，可

[g[n] = sum_{d|n} imes mu[d] imes f[frac{n}{d}] ]

得出结果

[f[n] = sum_{d|n}g[d] ]

[g[n] = sum_{d|n} imes mu[d] imes f[frac{n}{d}] ]

这个好像就是莫比乌斯反演

其他反演敬请期待