病态问题和条件数
在CV领域大部分问题都是非适定问题（ill-posed problem）。
对于这个“非适定”这一概念，我一直没有探究过。这次看到一篇非常精彩的博客，在这里分享给大家，建议大家查看原文~这里只作笔记，对原文中的错误略有修改。
1. 概念定义
1.1 病态/ 良态问题
病态问题（ill-conditioned problem）：问题的解关于条件非常敏感。条件（或数据）中即使存在极微妙的噪声，也会对问题的解造成剧烈的变化。
反之，关于条件不敏感的问题，我们称之为良态问题（well-conditioned problem）。
显然，我们能把这两个概念拓展至病态/ 良态系统（算法），“条件”即系统的输入，“问题的解”即系统的输出。
举一些例子：
- 人体体温调控系统是良态的，因为体表温度微小的变化也只会带来微小的体温调控；
- 汽车动力系统是良态的，因为微踩油门时，汽车动力也只会稍作改变。
再延伸至机器学习算法：
- 如果一个算法对噪声非常敏感，即病态的，那么其健壮性（robustness）也不佳（健壮性就是说系统抗扰动的能力）。
- 如果一个算法是过拟合的，那么该算法一定是病态的。
1.2 适定/ 非适定问题
适定问题（ill-posed problem）的定义来源于1903年哈达玛（Hadamard）的演讲：一个问题是适定的，当其满足以下3个条件：
- 解存在；
- 解是唯一的；
- 解连续依赖于输入（解随着初始条件的改变而连续改变）（The solution depends continuously on the input）。
只要不满足其中一个条件，那么该问题就是非适定的（ill-posed）。
注意：（非）适定问题既可以是良态的，也可以是病态的。
1.3 良态/ 病态矩阵和条件数
设有线性方程组(mathbf{A} vec{x} = vec{b})，其中(mathbf{A})是(n imes n)方阵，(vec{x})和(vec{b})都是(n imes 1)列向量。
假设条件(vec{x})变化了(Delta{vec{x}})，解相应地变化了(Delta{vec{b}})，即：
由于(mathbf{A} vec{x} = vec{b})，因此有(mathbf{A} Delta{vec{x}} = Delta{vec{b}})。
假设(mathbf{A})是非奇异矩阵，即(mathbf{A})为方阵且存在逆矩阵(mathbf{A^{-1}})，那么有：
两边取范数，根据范数的特性有：
对(mathbf{A} vec{x} = vec{b})有相同的操作：
结合（1-1）、（1-2）式有：
有东西！
- (frac{Vert Delta vec{x} Vert}{Vert vec{x} Vert})是初始条件的变化率；
- (frac{Vert Delta vec{b} Vert}{Vert vec{b} Vert})是解的变化率；
虽然是不等号，但系数(Vert mathbf{A} Vert cdot Vert mathbf{A^{-1}} Vert)还是有意义的。我们称之为矩阵(mathbf{A})的条件数（condition number），表示为：
式中的范数可以是0范数，无穷范数等，要注意矩阵(mathbf{A})必须是非奇异矩阵。
由（1-3）可得：
- 当条件数(k(mathbf{A}))较小时，若初始条件发生较小变化，则解的变化也不大；此时的矩阵(mathbf{A})就是良态矩阵；
- 当条件数(k(mathbf{A}))较大时，即使初始条件发生较小变化，解的变化也会很大；此时的矩阵(mathbf{A})就是病态矩阵。
因此，条件数是用来衡量系统敏感度的指标，可用于判定病态/ 良态矩阵。
回到前面的注，显然，病态/ 良态的概念与非适定/ 适定的概念是不一致的。
条件数不小于1：
2. 病态的根源
病态矩阵的较大条件数，并非其病态的根本原因。其根源在于矩阵列向量相关性过强。
病态矩阵，实际上是奇异矩阵和近奇异矩阵的另一个说法。
我们举个例子：
解为：
如果我们对输入条件作微调，则结果会变为：
可见，解变化的程度远远大于输入条件变化的程度。并且，矩阵(mathbf{A})的列向量之间相关性极强。
3. 计算条件数的方法
虽然我们有条件数的定义，但当矩阵为病态矩阵时，其中的求逆结果往往会有很大误差。因此通常情况下，我们会使用矩阵的特征值或奇异值来计算条件数。
3.1 与特征值的关系
特征值较大者，变化自由度高，因此会导致解的剧烈变化。这有点类似于病态矩阵的表现。
参见：一篇博文
3.2 与奇异值的关系
通过SVD分解，解的不稳定性也能用矩阵的性质加以解释。参见：一篇博文
3.3 自由数计算方法
若我们取二范数，则条件数为矩阵(mathbf{A})的最大、最小奇异值之商：
正规阵条件数
当矩阵(mathbf{A})为正规阵时，条件数为矩阵(mathbf{A})的最大、最小特征值的绝对值之商：
酉矩阵条件数
当矩阵(mathbf{A})为酉矩阵时，条件数为1：
即当且仅当(mathbf{A})为酉矩阵时，条件数取得最小值1。
奇异矩阵条件数
当(mathbf{A})为奇异矩阵时，其逆矩阵不存在：
4. 解释机器学习中的鲁棒性
假设我们要用SGD，用一批((X,Y))样本训练线性模型：
变形：
由上面所学的知识，若样本(mathbf{X})中存在大量相关（相似）样本，或矩阵(mathbf{X})是病态的，那么当标签(mathbf{Y})中存在噪声时，会导致解(mathbf{W})出现剧烈波动！
而在实际情况中，我们很难避免数据噪声。因此我们会对样本进行一些预处理，如异常点检测和离群点检测，目的都是为了获得良态的数据矩阵。
5. 病态矩阵规避：正则化（Regularizaiton）
当样本数远小于特征向量维度时，损失函数表示的矩阵往往是稀疏甚至是病态的。
此时我们可以加入正则化项。
正则化项会增加数值解与真实解之间的误差，但增强了稳定性。