学习笔记--数论--莫比乌斯反演初认识

• 前言

  本文只是用比较通俗的例子让大家了解一下什么是莫比乌斯反演，其中说明
  （明明都是瞎猜）可能有纰漏。本人也是个蒟蒻，未能给出珂学证明，还望多多指教。

• 理论基础

  1. “|”符号表示整除，
     a|b 表示b被a整除，也就是b有a这个因数，b=ka (k∈N)。
  2. “∑ ”求和符号

• 是什么

  请先看这个例子：

  假设有两个函数F(n),f(d)，且d∈{x| x|n(即n被d整除)}
  并有以下关系：F(n)等于所有f(d)之和。

  比如：6能被1,2,3,6整除，所以F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
  用一个公示表示就是：

  

  由此可得到：

  F(1)=f(1)

  F(2)=f(1)+f(2)

  F(3)=f(1)+ f(3)

  F(4)=f(1)+f(2)+f(4)

  F(5)=f(1)+f(5)

  F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

  F(7)=f(1)+f(7)

  稍微变形得到：

  f(1)=F(1)

  f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)

  f(3)=F(3)-F(1)

  f(4)=F(4)-f(2)-f(1)=F(4)-F(2)

  f(5)=F(5)-F(1)

  f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)

  f(7)=F(7)-F(1)

  f(8)=F(8)-F(4)

  emmmmm这样如果我们知道各个F(n)的值我们肯定能算出各个f(d)的值，只要打表推就可以了，但仔细观察一下，有没有什么规律呢？

  好像每一个f(n)都由它所有的因子d∈{x| x|n(即n被d整除)}的F(d)乘上一个0或1或-1的系数再相加得到，我们就把这个系数也看成是d的一个函数μ(d)，称作莫比乌斯函数。

  那莫比乌斯函数的值我们怎么知道呢？有没有一个通项公式？

  我们就从最特殊的f(6)着手：
  f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)
  我们不妨这样看：

  f(6)=1×F(6/1)+(-1)×F(6/2)+(-1)×F(6/3)+1×F(6/6)

  此时好像有点端倪了，我们可以将F()中每个分母看作d,且把1看做特殊情况：μ(1)=1,易看出μ(2)=-1,μ(3)=-1,μ(6)=1.

  这时相信不少大佬已看出μ(d)的值与d本身互异质因子个数有关。
  2只有一个质因子2,3只有一个质因子3，而6有两个质因子2和3。

  假设一正整数d的互异质因子个数为k，则μ(d)=(-1)^k。
  特殊的μ(1)=1.

  那有些μ(d)却等于0怎么解释呢？？？
  比如：f(8)= F(8)-F(4),

  根据上文的推测，我们知道,f(8)=μ(1)×F(8/1)+μ(2)×F(8/2)+μ(4)×F(8/4)+μ(8)×F(8/8)

  再看看上文我们已有的结论，正整数d的互异质因子个数这就要求d必须能为k个互异且互质的数的乘积。但是4=2×2不满足互异，8=2×4不满足互质。

  所以我们就猜想除1外不能由几个互质且互异的正整数相乘得到的数d的莫比乌斯函数值为0,例：μ(4)=0,μ(8)=0。

  下面总结一下：

  • μ(d)函数是莫比乌斯函数，如果d=1，μ(d)=1

  • 如果d为互异质数p1,p2…pk的乘积(若d本身是个质数就看是它本身一个的乘积)，则μ(d)=(−1)^k

  • 否则，μ(d)=0

  然而，我们现在只是会求莫比乌斯函数值，什么是莫比乌斯反演呢？

  其实就是下面两个定理：

  • 式1（约数关系）：若

  

  则

  

  • 式二（倍数关系）：若

  

  则
  

  式1在开头已经说过，式2也类似，还请大家拿出草稿纸多演算一下，才能领悟。

• 相关（不会证的）性质

  

  好吧我是从百科上截来的，不过我还找到了其他几个（全都不会证）

  • 对于大于1的正整数n

  

  • 对于任意正整数n

  

  φ()就是欧拉函数，若不清楚的可以看我的这篇博客：
  我又打广告了

• 应用

  线性方法求莫比乌斯函数值表

  和欧式筛法很像，建议先了解欧式筛法原理，其他详见代码注释

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=19260817;
int n;
int prime[maxn];//记录素数 
int mob[maxn];//记录莫比乌斯函数值 
bool vis[maxn];
int cnt=0;//记录素数个数 
void make_mob(int m)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	mob[1]=1;//特殊 
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
			mob[i]=-1;//素数的μ()为-1，
			//只有其本身一个互异互质因子 
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=m;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;//筛素数，不必多讲
			if(i%prime[j]==0){
				mob[i*prime[j]]=0;break; 
		    //设x=i*prime[j]很明显它的两个因子i与prime[j]不互质 
		    //break;大家可以先去看看欧式筛素数原理理解这句话 
			}
			mob[i*prime[j]]=-mob[i];
		//不难理解，i*prime[j]比i多了一个因子 
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	make_mob(n);
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<mob[i]<<' ';
		if(i%10==0)putchar('
');
	}
	return 0;
}