学习笔记--扩展欧几里得

前言

在noip前就对此算法进行过一些了解，然而noipD1T1压根没想到扩欧，说明我之前学的东西根本不扎实，于是现在跑来补坑

相关概念：

可以先看看这位dalao的博客，同时下面很多定理的证明那个博客也一并给出:

https://blog.csdn.net/yoer77/article/details/69568676

更项减损法&欧几里得算法

先来介绍一个在《九章算术》中出现的更相减损法：

• 对于任意正整数(a>=b),都有(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b))

• 证明：

  对于a,b任意公约数d,因为(dmid b,d|a),所以(dmid (a-b)),所以a,b的公约数集合与(b,a-b)的公约数集合相同，对于(a,a-b)也同理。

然后就是大名鼎鼎的欧几里得算法：

对于任意正整数$a,b (b e 0) $ 有， (gcd(a,b)=gcd(b,amod b))

进行高精度运算时，可考虑更项减损法代替。

裴蜀定理((Bézout's) (lemma))

• 对于任意整数(a,b),存在一对整数，满足(ax+by=gcd(a,b))

• 证明：

  我觉的还是《算法竞赛进阶指南》中给出证明更有帮助：

  在欧几里得算法最后一步,即(b=0)时，显然有一对整数(x=1,y=0),满足(a*1+b*0=gcd(a,0))

  若(b > 0)，则(gcd(a,b)=gcd(b,a mod b))。假

  设存在一对整数(x,y),满足(b*x+(a mod b)*y=gcd(b,a mod b))，

  因为(bx+(a mod b)y)

  (=bx+(a-blfloor a/b floor)y)

  (=ay-b(x-lfloor a/b floor y))，

  所以令(x'=y,y'=x-lfloor a/b floor y)就能得到(ax'+by'=gcd(a,b))

  应用数学归纳法（如果您不知道这是什么，您可以把它想象成一个递推或递归过程），可知此定理成立。

上述证明过程还给出了(x,y)的计算过程，用代码写就是

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    } 
    ll d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x;x=y,y=z-(a/b)*y;
    return d;
}

ex_gcd返回(gcd(a,b))，同时求出一组解(x,y)

对于(ax+by=c),它有解当且仅当(gcd(a,b)mid c)

然后，此方程的通解可表示为：

(x=(c/d)*x0+k*(b/d)) ，(y=(c/d)*y0-k*(a/d))

其中(k)取任意整数，(d)为(gcd(a,b)).

这是为什么呢？我辗转于各大博客都无清楚的解释，在我坚韧不拔意志的驱使下，终于在洛谷网课上找到了一个简洁易懂的证明:

• 证明：

  我们先考虑：(ax+by=gcd(a,b))的情况,

  显然(a*b+b*(-a)=0) 同时除以(gcd(a,b)),易知这是可行的

  所以(a*(b/gcd(a,b))+b*(-a/gcd(a,b))=0)

  所以若已知(x0,y0)为一组特解即(a*x0+b*y0=gcd(a,b))，不妨令(x=x0+k*b/gcd(a,b)) ,(y=y0-k*(a/gcd(a,b))),

  带入(ax+by)得(a(x0+k*b/gcd(a,b))+b*(y0-k*(a/gcd(a,b))))

  (=ax0+by0+k*(a*b/gcd(a,b)-b*a/gcd(a,b)))

  (=ax0+by0=gcd(a,b))

  然后(ax+by=c)的也很好解决掉了，这里不赘述

相关

• 求解线性同余方程

  对于方程(a*x equiv b pmod m)，可以转化为(a*x-b equiv 0 pmod m),不妨设((a*x)-b)为(m)的(-y)倍,即(a*x-b=-y*m)

  得到(a*x+m*y=b)

  然后就见上文处理了

• 求逆元

  逆元是什么？见我的这篇博客：https://www.luogu.org/blog/Rye-Catcher/solution-p3811

  (a*x equiv 1 pmod b)也就转换成(ax+by=1)了

  然后见上文处理

• 例题：

  同余方程： https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082

  青蛙的约会： https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516