学习笔记--数论知识集合

前言

数论在OI中还是比较重要的,这些笔记是在课上匆忙记下的,可能不太美观。

一些约定:在这里整数间除法是向下取整;((a,b))代表(gcd(a,b))

Problems:

小凯的疑惑
(sol):构造
(ax+by = k(a,b >= 0)) 使其无解
设一组解(x1 in [0,b-1] ,y1>=0)
若(k>ab-a-b)
则$y1>(k-a*x1)/b = (ab-a-b-a(b-1))/b $ (= -1)
即(y1>=0)
故(k=ab-a-b)是符合条件的最大值

上帝与集合的正确用法--扩展欧拉定理
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

屠龙勇士--扩展中国剩余定理

用(f(i))表示有序三元组(a,b,c)个数,使得(a*b*c=i),求出(f(1))~(f(n))
$sol: i=prod {p_i}^{c_i} $ $ f(i)=prod C^{ci+2}_2$ 使用扩展欧拉筛

数论之神

Algorithms:

• 线性推逆元:
  ​ (inv[fac[i]] = inv[fac[i+1]]*(i+1))
  设(p=i*k+r)
  (i*k+r equiv 0 mod p)
  (i*k equiv -r mod p)
  (r^{-1}*k equiv -i^{-1} mod p)
  (i^{-1} equiv -p/i*inv[p \% i]) (mod p)

• 中国剩余定理
  ExCRT(增量法):若m不互质
  $x equiv a mod b -> x=kb+a $
  (x equiv c mod d -> kb+a equiv c mod d -> kb+pd = c-a)
  条件((c-a)|gcd(b,d))
  求解后回代即可

• 埃式筛

• 欧拉筛-扩展 (未懂)

• Miller-Rabin(未懂)

  费马小定理&&二次剩余

• Pollard-Rho(未懂)

  生日攻击

• 类欧几里得算法(未懂)
  ​ https://www.cnblogs.com/LLppdd/p/8428349.html

• BSGS&&ExBSGS

Other Things:

1. (sum_{i=1}^N {1/i} = O(log N))

   • Prove:
     下界 1/2 * log N
     (sum_{i=1}^N {1/i} >= 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...)
     上界 log N
     $ sum_{i=1}^N {1/i}<=1+1/2+1/2+1/4+1/4+1/4+1/4+...$

2. (sum{1/p} = O(log log N))

3. 裴蜀定理: $(a,b)|d $ is equal to (ua+vb=d(u,v in Z))

4. (扩展欧几里得Exgcd:)
   (a mod b = a-a/b*b)
   (ua+vb = gcd(a,b))
   (u'b+v'(a mod b) = gcd(a,b))
   (u'b+v'(a-a/b*b) = gcd(a,b))
   (v'a+(u'-a/b*v')*b = gcd(a,b))
   通解:$x_0=x+t*b/(a,b) $ (y_0=y-t*a/(a,b))

5. ((k,m)=d) (且) (ka equiv kb mod m -> a equiv b mod m/d)
   (Prove: ka equiv kb mod m -> m|(ka-kb) -> m|k(a-b) -> (m/d)|(a-b))

6. 简化剩余系

   • 所有(0<n<=m,(n,m)=1)的n构成了模m的简化剩余系，简称缩系
     记这样n的个数为$ phi(m)$

   • 如果((m,m')=1),(a)取遍模(m)缩系,(a')取遍m'缩系
     那么(am'+a'm)取遍(mm')缩系

     • Prove: (已知(a,m)=1,(a',m')=1 , (m,m')=1)
       ((am',m)=1,(a'm,m')=1)
       ((am'+a'm,m)=1, (a'm+am',m')=1) //加上另一个数的若干倍仍互质
       ((am'+a'm,mm')= 1)
     • 所以如果((n,m)=1,phi(nm)=phi(n) * phi(m))

   • $phi(p^e)=(p-1) * p^{e-1}=pe * (1-1/p) $ p是质数

     • (Prove: [1,p^e])中与p不互质的数的个数为(p^e/p=p^{e-1})
       (phi(p^e)=p^e-p^{e-1} =p^e * (1-1/p))

   • 计算公式:(phi(p)= prod phi(p_i^{c_i}) = prod (p^c_i * (1-1/p_i)) = n* prod (1-1/p_i))

7. 欧拉定理 如果((a,m)=1,a^{phi(m)} equiv 1 mod m)
   $Prove: $设x取遍m的缩系,则ax取遍m的缩系
   $ prod x = prod ax mod m$
   $prod x = prod x *a^{ phi(m)} mod m $ //这样的a有phi(m)个
   由于((x,m)=1),保证$prod x $存在模m意义下的逆元
   所以 (a^{ phi(m)} equiv 1 mod m)

8. 费马小定理 如果((a,m)=1),且m是个质数 $a^{m-1} equiv 1 mod m $

9. 扩展欧拉定理 如果$(a,m)!=1 $ 则 (a^b equiv a^{min(b,b \% phi(m)+phi(m))} mod m)

10. 阶
    如果(gcd(a,m)=1)那么最小的正整数使得(a^{x} equiv 1 mod m),x称为a模m的阶
    性质:(x|phi(m))
    Prove:

11. 原根
    如果g在模m的阶是(phi(m)),那么称g是模m的原根
    性质: 模m意义下的的原根有(phi{(phi{m})}个)

12. 积性函数
    欧拉函数，莫比乌斯函数，除数函数

13. 狄利克雷卷积
    满足交换律结合律分配律,可用倍增
    ((f*g)(n) = sum_{d|n} f(d)*g(n/d))
    如果f,g是积性函数,f*g也是积性函数
    (f*e=f) 单位元:e (e(1)=1),其他(e(i)=0);

14. 莫比乌斯函数
    (e(n)=sum_{d|n}mu(d))
    Prove:转化为二项式系数后转化

    ​ 性质: (e(n)=mu(n)*1)

15. 莫比乌斯反演
    若(f(n)=sum_{d|n} g(d))
    则(g(n)=sum_{d|n} mu(d) f(n/d))
    (Prove:)
    (f = g*1) (mu*1 = e)
    (f*mu = g*1*mu)
    (f*mu = g*e)
    $g=f*mu $ -> (g(n)= sum_{d|n} mu(d) f(n/d))