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  • 学习笔记 ST算法

    【引子】RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题:

               对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。

              {方法}

               1、朴素(即搜索),O(n)-O(qn) online。
               2、线段树,O(n)-O(qlogn) online。
        3、ST(实质是动态规划),O(nlogn)-O(q) online。
            ST算法(Sparse Table),以求最大值为例,设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值,那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是 max(d[a,k], d[b-2^k+1,k]),        其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。
            d的求法可以用动态规划,d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。
        4、RMQ标准算法:先规约成LCA(Lowest Common Ancestor),再规约成约束RMQ,O(n)-O(q) online。
            首先根据原数列,建立笛卡尔树,从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ,也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1        的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法,故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

    【例】给定数组,询问区间最小值。(无修改)
        (数据范围不用线段树)

    【解】可以写一个线段树,但是预处理和查询的复杂度都是O(logn),存心的话可以给你卡掉。

      所以采用ST算法,它可以做到O(nlogn)的预处理,O(1)地回答每个询问

      f[i][j]表示数组p从位置i开始到位置i+2^j-1的最小值
      f[i][j]=min(f[i+(1<<(j-1))][j-1],f[i][j-1]);f[i][0]=p[i].
      求a~b的最小值,就是找出比b-a+1小的最大的二的幂次k
      有ans=min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k])

    【原理】

    nlogn预处理出Min[][]和Max[][],查询的时候O(1)查询。

    Max[j][i]或Min[j][i]代表,从j的位置开始,长度为2^i的子段中的最大值或最小值。

    然后预处理的时候递推。

    询问的时候先算出[l,r]的长度的2的对数,然后取出答案即可

    是一种优秀的存取方法。

    【实现】(以最大值为例):
        首先是预处理,用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。 f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,Dp的状态、初值都 已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一 段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j- i),j-1]).
         
        接下来是得出最值,也许你想不到计算出f[i,j]有什么用处,想计算max还是要O(logn),甚至O(n)。但有一个很好的办法,做到了 O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由 f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间(保证有f[i,j]对应)

    【模板代码】

     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<cstring>
     4 #include<cmath>
     5 #include<algorithm>
     6 #include<queue>
     7 #include<cstdlib>
     8 #include<iomanip>
     9 #include<cassert>
    10 #include<climits>
    11 #define maxn 100001
    12 #define F(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
    13 #define M(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
    14 #define FF(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
    15 #define inf 0x7fffffff
    16 #define maxm 21
    17 using namespace std;
    18 int read(){
    19     int x=0,f=1;char ch=getchar();
    20     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    21     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    22     return x*f;
    23 }
    24 int fm[maxn][maxm],fi[maxn][maxm],p[maxn];
    25 int n,q;
    26 inline int init()
    27 {
    28     cin>>n>>q;
    29     F(i,1,n){
    30         cin>>p[i];
    31     }
    32     F(i,1,n){
    33         fm[i][0]=fi[i][0]=p[i];
    34     }
    35     int m=floor((int)(log10((double)n)/log10((double)2))); 
    36     F(j,1,m)F(i,1,n){
    37         fm[i][j]=max(fm[i+(1<<(j-1))][j-1],fm[i][j-1]);
    38         fi[i][j]=min(fi[i+(1<<(j-1))][j-1],fi[i][j-1]);
    39     }
    40 }
    41 inline int stmax(int a,int b)
    42 {
    43     int m=floor((int)(log10((double)(b-a+1))/log10((double)2)));
    44     return max(fm[a][m],fm[b-(1<<m)+1][m]); 
    45 }
    46 inline int stmin(int a,int b)
    47 {
    48     int m=floor((int)(log10((double)(b-a+1))/log10((double)2)));
    49     return min(fi[a][m],fi[b-(1<<m)+1][m]); 
    50 }
    51 int main()
    52 {
    53     std::ios::sync_with_stdio(false);//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(1)<<y;
    54 //  freopen("data.in","r",stdin);
    55 //  freopen("data.out","w",stdout);
    56     init();int c,d;
    57     while(q--)
    58     {
    59         int a,b;
    60         cin>>a>>b;
    61         if(a>b) swap(a,b);
    62         c=stmax(a,b);
    63         d=stmin(a,b);
    64         cout<<c<<endl<<d<<endl;
    65      }
    66      return 0;
    67 }
    ST
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/SBSOI/p/5639941.html
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