学习笔记：快速幂

【定义】快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

【举例】

以下以求a的b次方来介绍

把b转换成二进制数。

该二进制数第i位的权为2^(i-1)

例如a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)

【实现】

快速幂可以用位运算这个强大的工具实现

b&1 {也就是取b的二进制最低位(即第0位)　判断b是否为奇数，是则为1}

b>>1{就是去掉b的二进制最低位(即第0位)}

【代码】

1、常规求幂

int pow1(inta,intb)
{
    int r=1;
    while(b--)
        r*=a;
    return r;
} 

2、二分求幂（一般）

int pow2(inta,intb)
{
int r=1,base=a;
while(b!=0)
{
    if(b%2)
        r*=base;
    base*=base;
    b/=2;
}
return r;
}

3、二分求幂（位操作）

int pow3(int a,int b)
{
    int r=1,base=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1)
            r*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
    }
    return r;
}

4、快速幂（位运算）

int pow4(int x,int n)
{
    if(n==0) return 1;
    else
    {
        while((n&1)==0)
        {
            n>>=1;
            x*=x;
        }
    }
    int result=x;
    n>>=1;
    while(n!=0)
    {
        x*=x;
    if((n&1)!=0)
        result*=x;
    n>>=1;
    }
    return result;
}