[ CERC 2014 ] Vocabulary

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(Description)

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给出三个长度分别为 (lenA,lenB,lenC) 的三个字符串 (A,B,C) ，其中字符集只包括所有小写字母以及 (?) 号。

现在将所有 (?) 号改为任意小写字母，问有多少种方案，使得 (A,B,C) 三个字符串按照字典序排列(()相同不算()?)

输出方案数对 (10^9+9) 取模后的结果。多组询问。

• 字符串总长度(le 10^6)

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(Solution)

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有趣的预处理题目。

三个串长度不能确定，不能通过数据组数判断复杂度要求，只好按照上界分析，即只有一组数据，做法接近线性。

首先考虑三个串不等长的问题，字典序中规定，一个串的任意长度前缀都比当前串字典序小，所以在不是最长的串后面补上若干个比 (a) 还要小的字符即可。

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考虑为了使得最后合法，三个串的字典序在确定 (?) 号的时候合法的情况（小于号表示字典序左侧优于右侧）：

• (1: A=B=C)
• (2: A<B=C)
• (3: A=B<C)
• (4: A<B<C)

其他情况会导致在某一位置某两串字典序相反，这样后面不管怎样设置字典序都是反过来的。

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动态规划。

设(f[i][1/2/3/4])表示，当前位置为(i)，当前位置及以前的所有 (?) 号都确定完了之后，使得三个串的字典序关系变为 (1/2/3/4) 的方案数。

为了便于初始化，将字符串都向后推一个，然后有(f[0][1]=1)，答案为(f[maxlen][4])。

考虑转移的过程，合法的转移有：(1 o 1/2/3/4 , 2 o 2/4 , 3 o 3/4 , 4 o4)，想不明白可以手玩一下，当前位置每一种情况的字典序的前提是不同的，例如 (1) 类情况必须要求前面的位置都为 (1) 类情况。

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然后考虑转移的过程，显然我们的转移影响要素有，前一位置状态，以及当前位置三个字符串的字符。

考虑到每次操作统计方案数非常麻烦，而转移只有 (28^3 imes(4+2+2+1)) 种(()后面括号里对应着状态间的转移())，不妨对每个转移处理出来方案数。

设 (g[i][j][x][y][z]) 表示，要从状态 (i) 转移到 (j) ，当前位置三个串的字符分别为 (x,y,z) 的方案数，预处理就暴力枚举三个字符，注意从上到下字符区间的限制，然后将可以累加的转移方案数累加就好。

然后我们动规的转移就可以直接借用 (g) 数组转移了，单组数据复杂度 ( ext O (16N))。

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(Code)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define R register
#define mod 1000000009
using namespace std;
typedef long long ll;

char a[N],b[N],c[N];
 
ll f[N][4],g[4][4][28][28][28];
 
int s1[N],s2[N],s3[N],lena,lenb,lenc,len;
 
inline void prework(){
  int l1,r1,l2,r2,l3,r3;
  for(R int i=0;i<=27;++i)
    for(R int j=0;j<=27;++j)
      for(R int k=0;k<=27;++k){
        (i==27)?l1=1,r1=26:l1=r1=i;
        for(R int x=l1;x<=r1;++x){
          (j==27)?l2=1,r2=26:l2=r2=j;
          for(R int y=l2;y<=r2;++y){
            (k==27)?l3=1,r3=26:l3=r3=k;
            for(R int z=l3;z<=r3;++z){
              ++g[3][3][i][j][k];
              if(x==y) ++g[1][1][i][j][k];
              if(x<y) ++g[1][3][i][j][k];
              if(y==z) ++g[2][2][i][j][k];
              if(y<z) ++g[2][3][i][j][k];
              if(x==y&&y==z) ++g[0][0][i][j][k];
              if(x==y&&y<z) ++g[0][1][i][j][k];
              if(x<y&&y==z) ++g[0][2][i][j][k];
              if(x<y&&y<z) ++g[0][3][i][j][k];
            }
          }
        }
      }
}
 
inline void init(){
  scanf("%s",a); lena=strlen(a);
  scanf("%s",b); lenb=strlen(b);
  scanf("%s",c); lenc=strlen(c);
  len=max(lena,max(lenb,lenc));
  for(R int i=0;i<lena;++i) s1[i+1]=(a[i]=='?'?27:a[i]-'a'+1);
  for(R int i=lena;i<=len;++i) s1[i+1]=0;
  for(R int i=0;i<lenb;++i) s2[i+1]=(b[i]=='?'?27:b[i]-'a'+1);
  for(R int i=lenb;i<=len;++i) s2[i+1]=0;
  for(R int i=0;i<lenc;++i) s3[i+1]=(c[i]=='?'?27:c[i]-'a'+1);
  for(R int i=lenc;i<=len;++i) s3[i+1]=0;
}
 
int main(){
  prework();
  int t;
  scanf("%d",&t);
  while(t--){
    init();
    for(R int i=0;i<=len;++i)
      for(R int j=0;j<4;++j) f[i][j]=0;
    f[0][0]=1;
    for(R int i=1;i<=len;++i)
      for(R int k=0;k<4;++k)
        if(f[i-1][k]) for(R int j=0;j<4;++j)
          (f[i][j]+=f[i-1][k]*g[k][j][s1[i]][s2[i]][s3[i]])%=mod;
    printf("%lld
",f[len][3]);
  }
  return 0;
}