[ CodeForces 518 D ] Ilya and Escalator

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(Description)

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(n)个人排队进场，每一秒至多只能进去一个人，且只有当前排在第一位的人有 (p) 的概率进场。

现在问 (t) 秒之后场内人数的期望。

• (n,tle 2000)

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(Solution)

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入门期望(DP)，但是边界问题还是很有趣的。

设 (f[i][j]) 表示第 (i) 秒已经入场 (j) 个人的概率，根据期望的定义，有

[ans=sum_{i=1}^n i imes f[t][i] ]

转移需要注意一下边界，下界只能从下界转移，上界转移自上界的时候不用乘概率

[f[i][j]=left{ egin{array}{ll}f[i-1][0] imes(1-p) & j=0\f[i-1][j-1] imes p+f[i-1][j] imes (1-p) & 1le j<n \f[i-1][n]+f[i-1][n-1] imes p & j=nend{array} ight. ]

(\)

(Code)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 2010
#define R register
using namespace std;

int n,t;

double p,ans,f[N][N];

int main(){
  scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t);
  f[0][0]=1.0;
  for(R int i=1;i<=t;++i){
    f[i][0]=f[i-1][0]*(1.0-p);
    for(R int j=1;j<n;++j) f[i][j]=f[i-1][j-1]*p+f[i-1][j]*(1.0-p);
    f[i][n]=f[i-1][n]+f[i-1][n-1]*p;
  }
  for(R int i=1;i<=n;++i) ans+=(double)i*f[t][i];
  printf("%lf
",ans);
  return 0;
}