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Description
给出一个整数 (r) ，求圆 (x^2+y^2=r^2) 上的整点数。
- (rle 2 imes 10^9)
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Solution
神题。
可以注意到，坐标轴上共有四个整点，其余位置各个象限里整点数相同，所以我们只需要计算第一象限的答案。
首先有方程
[x^2+y^2=r^2
]
移项，得
[x^2=r^2-y^2=(r+y)(r-y)
]
设 (d=gcd(r+y,r-y))，有
[x^2=frac{r+y}{d} imes frac{r-y}{d} imes d^2
]
因为 (x^2,d^2) 均为完全平方数，所以 (frac{r+y}{d} imes frac{r-y}{d}) 是完全平方数。
根据 (d) 的定义，显然有 ((frac{r+y}{d},frac{r-y}{d})=1)。
然而显然存在的是，两个不同的质数之积，或一个质数的平方和另一个质数的积都不是完全平方数。
所以 (frac{r+y}{d}, frac{r-y}{d}) 都是完全平方数。
我们设 (a,b) 分别满足：
[a^2=frac{r+y}{d},b^2= frac{r-y}{d}
]
那么有
[a^2+b^2=frac{r+y}{d}+frac{r-y}{d}=frac{2r}{d}
]
解法出来了。
首先 (sqrt {2r}) 枚举 (2r) 的因数，显然 (d) 不同的方案得到的点一定不同。
然后对于枚举的每一个 (d) ，枚举每一个可能的 (a) ，检验对应的 (b) 是否为整数，且满足互质即可。
注意交换 (a,b) 是一种情况，所以我们枚举 (a) 的范围在 ([1,sqrt{frac{2r}{d imes 2}} ]) 里。
复杂度分析：
枚举约数 (sqrt{2r}) ，对于每一个 (d) 再 (sqrt d) 的枚举约数，验证用到 (gcd) 复杂度 (log) 。
总复杂度大概是 ((2r)^{frac 34}log(2r)) 级别的。
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Code
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,ans;
ll gcd(ll x,ll y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int main(){
scanf("%lld",&n);
n<<=1;
ll lim=sqrt(n);
for(R ll d=1,lim1;d<=lim;++d)
if(n%d==0){
lim1=sqrt((n/d)/2);
for(R ll a=1,b;a<=lim1;++a){
b=sqrt((n/d)-a*a);
if(a==b) continue;
if(b*b!=(n/d)-a*a) continue;
if(gcd(a*a,b*b)!=1) continue;
++ans;
}
if(n/d!=d){
ll d1=n/d;
lim1=sqrt(d/2);
for(R ll a=1,b;a<=lim1;++a){
b=sqrt((n/d1)-a*a);
if(a==b) continue;
if(b*b!=(n/d1)-a*a) continue;
if(gcd(a*a,b*b)!=1) continue;
++ans;
}
}
}
printf("%lld
",ans*4+4);
return 0;
}