(\)
BSGS
用于求解关于 (x) 的方程：
[a^xequiv bpmod p , (p,a)=1
]
一般求解的是模意义下的指数，也就是最小非负整数解。
(\)
算法思想
本质是双向搜索，或阈值优化的思想。
首先设"步幅" 为 (m=lceil{ sqrt p} ceil) ，然后将方程写作
[a^{i imes m-j}equiv bpmod p
]
其中 (i) 就是所谓"大步"， (j) 就是所谓"小步"，我们要把他们组合在一起。
直接搜索两个数不如折半搜索一个数，然后再组合。
于是我们可以将分母上的 (a^j) 移项，得到
[a^{i imes m}equiv b imes a^jpmod p
]
然后就成了比较标准的双向搜索形式。
先把右一半的答案记下来，然后拿左一半搜到的每一个数去查询是否出现过就好了。
(\)
代码实现
对于每一个 (jin [0,m-1]) ，将 (b imes a^j \% p) 的答案放到哈希表里。
然后对于每一个 (iin[1,m]() 此范围依据定义而来，尤其注意！())，去哈希表里查是否有 (a^{im} \% p) 的值。
还有两个小优化：
-
注意到求出为同一个值的 (j) ，因为在答案里系数为 (-1) ，所以对于求出最小解 (j) 肯定是越大越优秀。
因此再哈希表里插入相同的值时，可以直接取 (max)， 如果是按序插入直接覆盖即可。
这里也延申出了一种做法，直接用 (map) 存储结果，将结果映射到 (j) ，按序插入直接覆盖，复杂度多个(log) 。
-
运算过程中只需一次快速幂。
一开始每一次都是乘上 (a) ，所以一遍循环一遍乘即可，第二步同理，只需题前计算出 (a^m) 的值。
这一优化在需要快速乘的时候效果很好。
我们以 [TJOI2007]可爱的质数 一题为例提供一份模板。
#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
using namespace std;
typedef long long ll;
map<ll,ll> s;
inline ll qpow(ll x,ll t,ll p){
ll res=1;
while(t){
if(t&1) (res*=x)%=p;
(x*=x)%=p; t>>=1;
}
return res;
}
inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
b%=p;
ll m=ceil(sqrt(p));
for(R ll i=0;i<m;++i,(b*=a)%=p) s[b]=i;
a=qpow(a,m,p);
for(R ll i=1,tmp=a;i<=m;++i,(tmp*=a)%=p)
if(s.find(tmp)!=s.end()){
if(i*m<s[tmp]) continue;
return i*m-s[tmp];
}
return -1;
}
int main(){
ll a,b,p;
scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b);
ll x=BSGS(a,b,p);
if(x>=0) printf("%lld
",x);
else puts("no solution");
return 0;
}