BZOJ 2440 [中山市选2011]完全平方数 【莫比乌斯反演】

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Hint

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9，T ≤ 50

Solution

题意：求x，使得∑ | μ[i] | ==k ( 1<= i <=n )

首先，根据 μ 函数的定义，对于一个自然数 i 的所有质因子中存在因子的指数大于2，μ [ i ]=0

转化一下条件的描述，若 i 中含有完全平方的因子，μ[ i ]=0

我们定义 F( x ) 为小于等于 x 的 μ[ i ] ! = 0 的 i 的个数

可以考虑一下从 x 中减去 μ[ i ] ==0 的 i 的个数

我们枚举一下因子 i，小于等于 x 的数中含 i 平方的数的个数显然 x/i^2

根据容斥，前面乘个系数 μ[ i ]

然后求个和，二分一下答案，复杂度大约是 O(n) 的预处理 + O( √n * log n )的单次访问

#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define maxp 50000
#define set(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define fr(i,a,b) for(ll i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define rf(i,b,a) for(ll i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define fe(i,a,b) for(int i=first[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
#define fec(i,a,b) for(int &i=cur[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll up=2e9;


ll prime[maxp],pri[maxp],miu[maxp],tot=0;
ll ans,k;
int T;

void read()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("2440.in","r",stdin);
  freopen("2440.out","w",stdout);
#endif
  cin >> T ;
}

void write()
{}

void print()
{
  cout << ans << endl ;
}

void get()
{
  miu[1]=1;
  fr(i,2,maxp){
    if( !prime[i] ) pri[++tot]=i,miu[i]=-1;
    int j=1;
    while( j<=tot && pri[j]*i<=maxp ){
      prime[pri[j]*i]=1;
      if( i%pri[j]==0 ){
    miu[pri[i]*j]=0;
    break;
      }
      miu[i*pri[j]]=-miu[i];
      j++;
    }
  }
}

ll calc(ll x)
{
  ll res=0;
  fr(i,1,sqrt(x))
    res+=(x/(i*i))*miu[i];
  return res;
}

void work()
{
  get();
  while( T-- ){
    cin >> k ;
    ll l=1,r=up,mid;
    while( l<=r ){
      mid=(l+r)>>1;
      if( calc(mid)>=k ) ans=mid,r=mid-1;
      else l=mid+1;
    }
    print();
  }
}

int main()
{
  read();
  work();
  write();
  return 0;
}