快速幂的思想

预备知识：

a*b%p=((a%p)*b)%p

(a+b)%p=(a%p+b)%p

         

快速幂就是快速求一个数的幂

两个整数a,b，求a^b

把b分解成几个2的次方的和，然后就相当于做一个指数乘法

比如说2^11

11=2^3+2^1+2^0

ans=2^（2^3+2^1+2^0）=2^(2^3)*2^(*2^1)+2^(2^0)

代码：

long long ksm(long  long a,long long  b){
long long ans=1;
while(b){
if(b&1==1)     ans*=a; //是因为3/2=1，有一个a^1要处理
a*=a;
b/=2;
}
return ans;
}

 

         

有一道思想一致的题：求a*b%p的结果，1<=a,b。p<=10^18。

乘法分配律

比如11*16

16=2^4;

ans=11*2^4

 

代码如下：

long long zc(long long a,long long b,long long c){
long long ans=0;
while(b){
if(b&1==1)ans=(ans+a)%c;
a=(a+a)%c;
b/=2;
}
return ans;
}

几个注意事项

1.要用longlong

2.ans初始化

   加时为0，乘时为1

几个例题：

越狱和天平

天平：

~

一个天平，有N个重量未知的砝码，砝码重量可由你自由确定。砝码可任意放在天平的左右两边，但要求称出从1到M之间所有的重量，现给出N的值，请问M最大值为多少。

3^0+3^1+3^2+……+3^(n-1)=3^n-1

~

一个天平，砝码分别为1g、3g、9g、27g、…、6561g…，每个砝码只有一个，要称重的物品放在天平的左侧，而砝码允许放在天平的左右两侧。已知一个物品的质量N （N≤108 ），问如何称重？

分析：就是将N转换成三进制后，将三进制中的0、1、2三个状态转换成 0、1 、-1 ，具体的说，就是0和1不变，2变成-1后，其高一位加1。

短除法 若余数为2，则现在的那个结果加一，使余数变成-1

~

一个天平，砝码分别为1g、3g、9g、27g、… 、6561g…，每个砝码只有一个，要称重的物品放在天平的左侧，而砝码只允许放在天平的右侧。将由这个系统可以称出来的重量按从小到大的顺序进行排列，得到下列序列：1,3,4,9,10,...。问其中的第K个重量是多少？

数据规模：K≤105

//0 1 2 3 4……的序列

1=3^0； 

3=3^1；

4=3^0+3^1；

9=3^2;

10=3^0+3^2;

12=3^1+3^2;

13=3^0+3^1+3^2;

.......