vijos1453曼哈顿距离

描述

给出N个D维空间的点。求出曼哈顿距离最大的两个点的
曼哈顿距离。两个点(x1, x2...xD)、(X1,X2..XD)的曼哈顿距
离被定义为|x1-X1|+|x2-X2|+...+|xD-XD|.

格式

输入格式

第一行两个正整数N，D。

接下来有N，每行描述一个点的坐标。

输出格式

在第一行输出曼哈顿距离最大的两个点的曼哈顿距离。

样例1

样例输入1

4 2

2 1

1 4

4 5

5 3

样例输出1

6

限制

1S

提示

在60%的数据中,1<=N<=100000,1<=D<=2
在100%的数据中,1<=N<=100000,1<=D<=5

来源

CQF为noip２００９出的练习题

一道很好的数学题。

曼哈顿距离的定义为|x1-X1|+|x2-X2|+...+|xD-XD|；

我们观察一下一维的，最大的x减最小的x。

顺着这个思路我们看看二维x1+x2最大-(x1+x2)最小可以么，

不幸的是不行，

反例：

4 2

2 2

-1 -1

-2 2

2 -2

但反例告诉了我们一些有意思的东西，答案为-（x1-X1）+（x2-X2）

我们尝试把绝对值去掉，

考虑两个点xi,yi,xj,yj

其曼哈顿距离为|xi-xj|+|yi-yj|

得到四个式子

xi-xj+yi-yj
xj-xi+yi-yj
xi-xj+yj-yi
xj-xi+yj-yi

最大值不就在其中吗，并且错误的除去绝对值不会超过原有的答案（原来正的变负的了）。

因此,把一个曼哈顿距离公式中的所有绝对值去除,每个点得到2^k个一维坐标,距离最大是不会变的。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pr;
const double pi=acos(-1);
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)
#define Rep(i,u) for(int i=head[u];i;i=Next[i])
#define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
#define pq priority_queue
#define pqb priority_queue <int, vector<int>, less<int> >
#define pqs priority_queue <int, vector<int>, greater<int> >
#define vec vector
ld eps=1e-9;
ll pp=1000000007;
ll mo(ll a,ll pp){if(a>=0 && a<pp)return a;a%=pp;if(a<0)a+=pp;return a;}
ll powmod(ll a,ll b,ll pp){ll ans=1;for(;b;b>>=1,a=mo(a*a,pp))if(b&1)ans=mo(ans*a,pp);return ans;}
void fre() { freopen("c://test//input.in", "r", stdin); freopen("c://test//output.out", "w", stdout); }
//void add(int x,int y,int z){ v[++e]=y; next[e]=head[x]; head[x]=e; cost[e]=z; }
int dx[5]={0,-1,1,0,0},dy[5]={0,0,0,-1,1};
ll read(){ ll ans=0; char last=' ',ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
int a[100005][10];
int main()
{
    int n=read(),m=read(),ans=0,Max,Min;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=read();
    for (int k=0;k<(1<<m);k++){
        Max=-pp; Min=pp;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            int sum=0;
            for (int j=1;j<=m;j++)
                if (k&(1<<(j-1))) sum+=a[i][j];
            else sum-=a[i][j];
            Max=max(Max,sum);
            Min=min(Min,sum);
        }
        ans=max(ans,Max-Min);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
 }