牛牛小数点
题目链接：nowcoder 225284
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题目大意
定义一个函数 f(i) 为 1/i 循环节从小数点后第几位开始，位数作为函数的结果。
如果是不循环的小数，那 f(i)=0。
然后要你求 f(1)~f(n) 的和。
思路
首先丢出两个结论：（其实比赛的时候推一推猜一猜都能有）
如果 (x) 质因子分解之后只有 (2,5)，那它就是不循环的。（这个显然）
然后如果 (x) 是循环的，它的循环节开始维护就是 (1+max{num_2,num_5})。（(num_i) 是质因数分解 (x) 之后 (i) 这个质数的个数）
这里给一下网上看到的玄学证明：
如果没有 (2,5) 因子，通过一个叫做欧拉降幂的东西可以知道 (10^iequiv1(mod x)) 是一定有解的。
那也就说，存在 (i,j) 使得 (xj=10^i-1)，然后通分 (x=dfrac{10^i-1}{j})。
然后有 (dfrac{1}{x}=dfrac{j}{10^i-1})，然后就会得出这是一个循环节长度为 (i)，内容为 (j) 的无限循环小数。
这里个人感觉十分玄学，但事实就是如此。
那如果没有 (2,5)，循环就是从 (1) 开始。
而有 (2,5) 的情况，我们就乘 (max{num_2,num_5}) 个 (10)，这样它可能分子不是 (1)，但我们看到影响循环节长度（以及开始位置）的是 (i) 啊，跟它无关。
那这个时候你得到的就是从 (1) 开始，那把 (10) 除回去就是从 (1+max{num_2,num_5}) 开始的。
然后你考虑怎么快速求，考虑根据上面的性质，你枚举数质因数分解之后 (2,5) 的个数。
然后你考虑有多少个这样的数，设 (2,5) 个数分别为 (i,j)。
那一共有 (leftlfloordfrac{n}{2^i5^j}
ight
floor) 个可能的数。
为什么是可能呢？因为你规定了 (2,5) 个数，那你选的 (x) 除 (2^i5^j) 之后不能有 (2,5) 因子。
那要怎么找因子呢？
那我们就是要找没有 (2,5) 因子的数，那我们考虑这些数有什么特点。
（其实可以直接容斥一下得到，但我比赛的时候不是用容斥的）
如果有 (2) 的因子，那它末尾肯定是 (0,2,4,6,8) 其中一个，如果有 (5) 的因子，那它末尾肯定是 (0,5) 其中一个。
那我们就需要统计有多少个数的末尾不是这些，也就是在 (1,3,7,9) 之中。
然后大于 (10) 的部分直接 (x/10*4)，小于的直接暴力判断。
然后就好啦。
代码
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int T;
ll l, r;
ll clac(ll x) {//统计有循环小数的个数
ll re = x / 10 * 4;
x %= 10;
if (x >= 1) re++;
if (x >= 3) re++;
if (x >= 7) re++;
if (x >= 9) re++;
return re;
}
ll work(ll x) {//数位DP
ll now = 1, pre, re = 0;
ll xnm = 0, ynm = 0;
while (now <= x) {
pre = now;
ynm = 0;
while (now <= x) {
ll maxn = x / now;
re = (re + max(xnm + 1, ynm + 1) * (clac(maxn) - 1ll) % mo) % mo;
ynm++;
now *= 5ll;
}
xnm++;
now = pre;
now <<= 1;
}
return re;
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%lld %lld", &l, &r);
printf("%lld
", ((work(r) - work(l - 1)) % mo + mo) % mo);
}
return 0;
}