归并排序求逆序对
逆序对:对于数列的第 (i) 个和第 (j) 个元素,如果满足 (i < j) 且 (a[i] > a[j]),则其为一个逆序对。
暴力求法就是两遍for循环,(O(n^2))超时
用归并可以顺便求出来,(O(nlogn))
在一次归并排序中,因为归并要求将一个完整区间分为两块,所以逆序对出现了三种情况。
- 逆序对在mid的左边
- 逆序对在mid的右边
- 逆序对的两个元素一个在mid左边,一个在mid右边
之前提过归并可以顺便求出来,这里设归并排序有大小为该区间逆序对个数的返回值,即(l-r的逆序对个数=merge\_sort(l,r))
因为是递归处理嘛,所以先将左右两边的归并排序。重点是第三部分,如何处理这种情况。
首先,通过前两次归并排序,从(L-mid,mid+1-R)两个部分都是有序的,在合并这两个有序序列时,可以求出第三种情况的逆序对个数。
重新想一下逆序对的定义,是在前面的数比后面的数大。在区间上来看,就是(L-mid)的这一部分中有元素比(mid+1-R)中的元素大。
每次移动右半边的指针时,从中间到左半边指针所包含的所有数字 都是大于右半边指针所指向的数字的,这些都可以组成逆序对,直接加上即可。
最后呢,其实1和2的情况没有讨论,因为归并排序最后还是要分到只有两个数进行排序的。一个数不能构成逆序对,所以只有两个数字的情况下,只存在第三种情况,接着往下递归就不需要考虑12了。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n, q[maxn], tmp[maxn];
ll solve(int l, int r)
{
if (l >= r)
return 0;
int mid = l + r >> 1;
ll ans = solve(l, mid) + solve(mid + 1, r);
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while (i <= mid && j <= r) {
if (q[i] <= q[j])//特别要注意这个,虽然加不加等号对于排序而言并没有影响,但是求逆序数时,加不加等于号是两种情况。只有在严格大于的时候才是逆序数。
tmp[k++] = q[i++];
else {
tmp[k++] = q[j++];
ans += (mid - i + 1);
}
}
while (i <= mid)
tmp[k++] = q[i++];
while (j <= r)
tmp[k++] = q[j++];
for (int i = l; i <= r; i++)
q[i] = tmp[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d", &q[i]);
ll res = solve(0, n - 1);
cout << res;
}