【NOIP 2013 提高组】货车运输

Luogu 传送门

简析

可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。

得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过 LCA 来做到这一点，我求 LCA 的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。

于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求 LCA 来回答询问。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=5e4+5;
struct edge2 {
	int u,v,w;
	bool operator<(const edge2 &x) const {
		return w>x.w;
	}
	edge2() {}
	edge2(int x,int y,int z) {
		u=x,v=y,w=z;
	}
};
vector<edge2> v;
int n,m,fa[N];
int getf(int x) {
	return fa[x]==x?x:fa[x]=getf(fa[x]);
}
inline void merge(int x,int y) {
	x=getf(x),y=getf(y),fa[x]=y;
}
struct edge {
	int to,nxt,w;
} e[N<<1];
int cnt,head[N];
inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++cnt].to=v,e[cnt].w=w,e[cnt].nxt=head[u],head[u]=cnt;
}
int f[N][30],dep[N],w[N][30];
bitset<N> vis;
void build(int u,int fa) {
	dep[u]=dep[fa]+1,f[u][0]=fa,vis[u]=1;
	for(int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) {
			continue;
		}
		w[v][0]=e[i].w,build(v,u);
	}
}
int lca(int x,int y) {
	if(getf(x)^getf(y)) {
		return -1;
	}
	int ans=1e9;
	if(dep[x]>dep[y]) {
		swap(x,y);
	}
	for(int i=25; i>=0; i--) {
		if(dep[f[y][i]]>=dep[x]) {
			ans=min(ans,w[y][i]),y=f[y][i];
		}
	}
	if(x==y) {
		return ans;
	}
	for(int i=25; i>=0; i--) {
		if(f[x][i]^f[y][i]) {
			ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i])),x=f[x][i],y=f[y][i];
		}
	}
	ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0]));
	return ans;
}
int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=0,x,y,z; i<m; i++) {
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z),v.push_back(edge2(x,y,z));
	}
	sort(v.begin(),v.end());
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		fa[i]=i;
	}
	int sum=1;
	for(int i=0; i<m; i++) {
		int x=v[i].u,y=v[i].v,z=v[i].w;
		if(getf(x)^getf(y)) {
			merge(x,y),add(x,y,z),add(y,x,z),sum++;
		}
		if(sum==n) {
			break;
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		if(!vis[i]) {
			build(i,0),w[i][0]=1e9;
		}
	}
	for(int i=1; i<=25; i++) {
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1],w[j][i]=min(w[j][i-1],w[f[j][i-1]][i-1]);
		}
	}
	int q;
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,x,y; i<=q; i++) {
		scanf("%d %d",&x,&y),printf("%d
",lca(x,y));
	}
	return 0;
}