使用主定理求解递归式
主定理是分治算法分析中非常重要的定理。
如，我们要处理一个 规模为 (n) 的问题通过分治，得到 (a) 个规模为 (dfrac{n}{b}) 的问题，分解子问题和合并子问题的时间是 (f(n))。
在 (T(n) = aT(frac{n}{b})+f(n)) 这个式子里，要求 (a geqslant 1, b> 1)（如果 (b=1) 时，递推无意义），(f(n)) 是渐进意义上的正数。
回顾一下 (a) 和 (b) 的含义：
- (a) 个子问题，即 (a) 是原问题分为子问题的个数；
- 每个子问题的规模是 (dfrac{n}{b})；
- 分治算法共三部分，分治合，而 (f(n)) 就是分 + 合的时间。(left lfloor frac{n}{b} ight floor) 和 (left lceil frac{n}{b} ight ceil) ，向下取整和向上取整的细节，并不会影响主定理的推导。
而后呢，根据上面的式子我们会得到三种情况：
- 若有实数大于零 ((varepsilon >0),f(n)=O(n^{log_{b}a-varepsilon}))，则 (T(n)=Theta (n^{log_{b}a}))；
- 若 (f(n)=Theta (n^{log_{b}a}))，则 (T(n)=Theta (n^{log_{b}a}log_n))；
- 若有实数大于零 ((varepsilon >0))(f(n)=Omega (n^{log_{b}a+varepsilon }))，使得较大的 (n)，满足 (af(frac{n}{b})leqslant cf(n))，这时候则 (T(n) = Theta (f(n)))。
这三种情况看起来很复杂，搞清楚他们之间的关系，快速记忆就简单了。
对于三种情况的每一种，我们将函数 (f(n)) 与 (n^{log_{b}a}) 比较，俩个函数较大者将决定递归式的解。
-
若函数 (n^{log_{b}a}) 更大，如情况 (1)，则解是 (T(n)=Theta (n^{log_{b}a}))；注意 (f(n)) 小于 (n^{log_{b}a}) 是渐进意义上的，要差一个因子量级 (n^{varepsilon }(varepsilon >0))。
-
若函数 (f(n)) 更大，如情况 (3)，则解是 (T(n) = Theta (f(n)))；注意 (f(n)) 大于 (n^{log_{b}a}) 是渐进意义上的，要差一个因子量级 (n^{varepsilon }(varepsilon >0))，还要满足 (af(frac{n}{b})leqslant cf(n))；
-
若俩个函数相等，如情况 (2)，则乘上一个对数因子，解为 (T(n)=Theta (n^{log_{b}a}~log_n))；
-
上面的三种情况并未覆盖 (f(n)) 的所有可能性，情况 (1)、情况 (2) 之间存在间隙，(f(n)) 可能小于 (n^{log_{b}a}) 但不是多项式意义上的小于；情况 (2)、情况 (3) 之间也存在间隙，(f(n)) 可能大于(n^{log_{b}a}) 但不是多项式意义上的大于；若函数 (f(n)) 在这俩个间隙中，或者是情况 (3) 中要求的 (af(frac{n}{b})leqslant cf(n)) 条件不成立，就不能使用主方法来解决递归式。
首先，得明白一个基准函数：(Theta (n^{log_{b}a}))。
有了基础函数之后，就可以根据它来判定情形之间的关系。
那我们该如何记忆这个基准函数呢 ？？
原来的函数是：(aT(frac{n}{b})+f(n)) 为底数，如果化为对数形式也是以 (b) 为底 ((log_{b}a))；
原函数是一个多项式，(a) 和 (b) 都是常数，算出来肯定也是一个具体的数值。
所以，我们要记这样一个基准多项式（基准函数）：(Theta (n^{?}))，次方（即 (?)）是取对数的。
接下来，是以上三种情况的判定：
- (f(n)) 是弱于基准的，(O(n^{log_{b}a-varepsilon })<Theta (n^{log_{b}a}))；
- (f(n)) 是等于基准的，(Theta (n^{log_{b}a})=Theta (n^{log_{b}a}))；
- (f(n)) 是强于基准的，(Omega (n^{log_{b}a+varepsilon })>Theta (n^{log_{b}a}))。
例子
例 (1)：(T(n)=4T(frac{n}{4})+Theta (1))（乐高铺积木）
分析，(a=b=4)，基准函数是 (Theta (n^{log_{4}4}))，因为 (log_{4}4=1)，所以基准函数是 (Theta (n))。
又因为 (f(n) = Theta (1)) 比基准函数 (Theta (n)) 要弱，我们取一个实数 ((varepsilon=1))，即 (Theta (1)=O(n^{1-frac{1}{2}}) = O(sqrt{n}))。
得到 (T(n)=Theta (n ))。
例 (2)：(T(n)=T(frac{n}{2})+Theta (1))（二分查找）
分析，(a=1,b=2)，基准函数是 (Theta (n^{log_{2}1}))，因为 (log_{2}1=0)，所以基准函数是 (Theta (1))。
又因为 (f(n)=Theta(1))，基准函数也是 (Theta(1)) ，(f(n)=) 基准函数，再乘上一个 (log n)，即 (T(n)=Theta(log n))。
例3：(T(n)=2T(dfrac{n}{2})+Theta(n)) （归并排序）
分析，(a=b=2)，基准函数是 (Theta (n^{log_{2}2}))，因为 (log_{2}2=1)，所以基准函数是 (Theta (n))。
又因为 (f(n)=Theta (n))，基准函数也是 (Theta (n))，(f(n)=) 基准函数，最后 (T(n)=Theta (n~logn))。
