uoj37 主旋律

题意：一个班级n个人，如果a爱b，那么a->b一条有向边。问有多少种删边集合使得图仍然强联通？ n<=15.

 

标程：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7; 
const int N=32770;
int read()
{
   int x=0,f=1;char ch=getchar();
   while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
   while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
   return x*f;
}
int n,m,Max,pop[N],pow[N],sum_e[N],to_e[N],f[N],a,b,e[N],ie[N],u[N];
int lowbit(int x){return x&(-x);} 
int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) 
    {
       a=read(),b=read();
        e[1<<a-1]|=1<<b-1,ie[1<<b-1]|=1<<a-1;
    } 
   Max=1<<n;pow[0]=1;
   for (int i=1;i<Max;i++) pop[i]=pop[i>>1]+(i&1),pow[i]=(ll)pow[i-1]*2%mod;
   for (int i=1;i<Max;i++)
   {    
       int v=lowbit(i);int p=i^v;
      sum_e[i]=sum_e[i^v]+pop[e[v]&i]+pop[ie[v]&i];
        f[i]=pow[sum_e[i]];to_e[i]=0;
      for (int j=p;j;j=(j-1)&p)
           u[i]=((ll)u[i]-(ll)f[i^j]*u[j]%mod+mod)%mod;
       for (int j=i;j;j=(j-1)&i)
      {      
          int v=lowbit(i^j);to_e[j]=to_e[j|v]-pop[e[v]&(i^j)]+pop[ie[v]&j];
           f[i]=((ll)f[i]-(ll)pow[sum_e[i^j]+to_e[j]]*u[j]%mod+mod)%mod;
       }
       u[i]=((ll)u[i]+f[i])%mod;
    }
   printf("%d
",f[Max-1]);
   return 0;
}

技巧：用lowbit(i)取出i中的任意一个元素（注意是移位<<后的）。

题解：状压枚举子集+容斥dp

乍一看只知道状压。。。强联通是什么鬼嘛。。。

考虑一个不强联通的图，至少有一个点的入度为0。

这样就可以容斥啦：全集-不强连通的图数=强联通的图数。

枚举缩点后入度为0的块有多少个，设包含入度为0的块的集合为T。f[S]表示S集合中的点构成强联通图的方案数，g[S][k]表示将S集合分成k个独立块的方案数,u[S][k]表示带容斥系数的g之和。e(S)表示S点集中的边数。e(S,T)表示从S中的点连出向T的边数。

u[S]也可以通过容斥求得。为了不算重，取一个S集中的点v作为连通块部分的必选点。（减号就相当于是连通块个数+1，(-1)^k变号）

求u和f的时间复杂度都是O(n^3)。求e(S)和e(S,T)都可以通过在子集上累加的方法计算。