题意：长度为n的序列，相邻两个或单独一个可以划分到一个组，每个元素最多处于一个组。
问恰好分割成k(1<=k<=m)段有多少种方案？
标程：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 const int mod=998244353; 5 const int rt=31; 6 const int N=300005; 7 int l,_n,pos[N],n,k,a[N],b[N],c[N],x1[N],x2[N],x3[N],x4[N],w[N],wn,inv_n; 8 int ksm(int x,int y) 9 { 10 int res=1; 11 while (y) {if (y&1) res=(ll)res*x%mod; x=(ll)x*x%mod; y>>=1;} 12 return res; 13 } 14 void init(int n) 15 { 16 l=0; 17 while ((1<<l)<=n) l++;//注意位长的处理，判断条件是(1<<l)<=n 18 _n=1<<l;wn=ksm(rt,1<<23-l); 19 w[0]=1;inv_n=ksm(_n,mod-2); 20 for (int i=1;i<_n;i++) 21 w[i]=(ll)w[i-1]*wn%mod,pos[i]=(i&1)?pos[i-1]|(1<<(l-1)):pos[i>>1]>>1; 22 } 23 void fft(int *a,int op) 24 { 25 for (int i=0;i<_n;i++) if (i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]); 26 int len=1,id=_n; 27 for (int i=0;i<l;i++) 28 { 29 int wn=w[id>>=1]; 30 for (int j=0;j<_n;j+=len*2) 31 for (int k=j,w=1;k<j+len;k++) 32 { 33 int l=a[k],r=(ll)a[k+len]*w%mod; 34 a[k]=((ll)l+r)%mod;a[k+len]=((ll)l-r+mod)%mod; 35 w=(ll)w*wn%mod; 36 } 37 len<<=1; 38 } 39 if (op==-1) { 40 reverse(a+1,a+_n); 41 for (int i=0;i<_n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv_n%mod; 42 } 43 } 44 void merge(int *a,int *b,int *c) 45 { 46 c[0]=1; 47 for (int i=1;i<=k;i++) c[i]=((ll)((ll)b[i]+b[i-1])%mod+a[i-1])%mod; 48 for (int i=k+1;i<_n;i++) c[i]=0; 49 } 50 void solve(int n) 51 { 52 if (n==0) 53 { 54 a[0]=1;for (int i=1;i<_n;i++) a[i]=0; 55 b[0]=b[1]=1;for (int i=2;i<_n;i++) b[i]=0; 56 return; 57 } 58 if (n==1) 59 { 60 a[0]=a[1]=1;for (int i=2;i<_n;i++) a[i]=0; 61 b[0]=b[2]=1;b[1]=3;for (int i=3;i<_n;i++) b[i]=0; 62 return; 63 } 64 solve(n/2-1); 65 merge(a,b,c); 66 for (int i=k+1;i<_n;i++) a[i]=b[i]=0; 67 fft(a,1);fft(b,1);fft(c,1); 68 for (int i=0;i<_n;i++) 69 { 70 x1[i]=(ll)a[i]*a[i]%mod; 71 x2[i]=(ll)b[i]*b[i]%mod; 72 x3[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod; 73 x4[i]=(ll)b[i]*c[i]%mod; 74 } 75 fft(x1,-1);fft(x2,-1);fft(x3,-1);fft(x4,-1); 76 for (int i=1;i<_n;i++)//从1开始，注意边界 77 x2[i]=((ll)x2[i]+x1[i-1])%mod,x4[i]=((ll)x4[i]+x3[i-1])%mod; 78 if (n&1) 79 { 80 merge(x2,x4,b); 81 for (int i=0;i<_n;i++) a[i]=x4[i]; 82 }else 83 for (int i=0;i<_n;i++) a[i]=x2[i],b[i]=x4[i]; 84 } 85 int main() 86 { 87 scanf("%d%d",&n,&k); 88 init(2*k+1); solve(n); 89 for (int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",a[i]); 90 puts(""); 91 return 0; 92 }
题解：fft+分治+dp
可以得到递推式:f[i(元素数)][j(段数)]=f[i-1][j-1]+f[i-2][j-1]+f[i-1][j]。
f(n)=f(n-1)*(1+x)+f(n-2)*x.
一个方法是带权斐波那契通项展开，并不会多项式开根。
另一个方法，考虑f(a+b)=f(a)*f(b)+f(a-1)*f(b-1)*x。（根据在a,b处能否断开讨论）
分治下去，f(i),f(i+1)->f(i+2) f(2i+2)=f(i+1)*f(i+1)+f(i)*f(i)*x
f(2i+3)=f(i+1)*f(i+2)+f(i)*f(i+1)*x f(2i+4)=f(i+2)*f(i+2)+f(i+1)*f(i+1)*x
注意n的奇偶要讨论，m以后的k不用计算。时间复杂度O(mlog^2(m))。