最小生成树
一、什么是图的最小生成树（MST）？
不知道大家还记不记得树的一个定理：N个点用N-1条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树，没有别的可能。
一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。
二、最小生成树用来解决什么问题？
就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。例如：
【例4-9】、城市公交网建设问题
【问题描述】
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？
【输入格式】
n（城市数，1<=n<=100）
e（边数）
以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
【输出格式】
n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。
【输入样例】
5 8
1 2 2
2 5 9
5 4 7
4 1 10
1 3 12
4 3 6
5 3 3
2 3 8
【输出样例】
1 2
2 3
3 4
3 5
【分析】：
对于最小生成树问题，有两种解决方法，*Prim*与*Kruskacl*，复杂度分别为O(m*logn) O(m*logm)，一下是对其两种算法的简单介绍
Kruskal算法
Kruskal（克鲁斯卡尔）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。
首先我们把无向图中相互连通的一些点称为处于同一个连通块中。例如下图
图中有3个连通块。1、2处于一个连通块中，4、5、6也处于一个连通块中，孤立点3也称为一个连通块。
Kruskal算法将一个连通块当做一个集合。Kruskal首先将所有的边按从小到大顺序排序（一般使用快排），并认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。然后按顺序枚举每一条边。如果这条边连接着两个不同的集合，那么就把这条边加入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合；如果这条边连接的两个点属于同一集合，就跳过。直到选取了n-1条边为止。
算法描述:
- 初始化并查集。father[x]=x，
- tot=0
- 将所有边用快排从小到大排序。
- 计数器 k=0;
- for (i=1; i<=M; i++) //循环所有已从小到大排序的边
if 这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，
①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。
②tot=tot+W(u,v)
③k++
④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break;
- 结束，tot即为最小生成树的总权值之和。
【思想讲解】
Kruskal（克鲁斯卡尔）算法开始时，认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。
5个集合{ {1}，{2}，{3}，{4}，{5} }
生成树中没有边
Kruskal每次都选择一条最小的边，而且这条边的两个顶点分属于两个不同的集合。将选取的这条边加入最小生成树，并且合并集合。
第一次选择的是<1,2>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点1、2合并成一个集合。
4个集合{ {1，2}，{3}，{4}，{5} }
生成树中有一条边{ <1,2> }
第二次选择的是<4,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点4、5合并成一个集合。
3个集合{ {1，2}，{3}，{4，5} }
生成树中有2条边{ <1,2> ，<4,5>}
第三次选择的是<3,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点3、5所在的两个集合合并成一个集合
2个集合{ {1，2}，{3，4，5} }
生成树中有3条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>}
第四次选择的是<2,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点2、5所在的两个集合合并成一个集合。
1个集合{ {1，2，3，4，5} }
生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
算法结束，最小生成树权值为19。
通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合，最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
程序如下：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #define N 5005 5 #define M 200010 6 #define FORa(i,s,e) for(i=s;i<=e;i++) 7 #define FORs(i,s,e) for(i=s;i>=e;i--) 8 #define File(name) freopen(name".in","r",stdin); freopen(name".out","w",stdout); 9 using namespace std; 10 static char buf[100000],*pa=buf,*pb=buf; 11 #define gc pa==pb&&(pb=(pa=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),pa==pb)?EOF:*pa++ 12 inline int read(); 13 struct Edge{ 14 int next,from,to,dis; 15 }edge[N]; 16 int head[10000],n,m,num_edge,fa[N]; 17 bool bz[N]; 18 int find(int x) 19 { 20 if(fa[x]==x) 21 return fa[x]; 22 fa[x]=find(fa[x]); 23 } 24 void Add_edge(int from,int to,int dis) 25 { 26 edge[++num_edge]=(Edge){head[from],from,to,dis}; 27 head[from]=num_edge; 28 } 29 bool cmp(Edge p1,Edge p2) 30 { 31 p1.dis<p2.dis; 32 } 33 int main() 34 { 35 File("Kruskal"); 36 int from,to,fdis,i,tot=0,sum=0,t1,t2; 37 n=read(),m=read(); 38 FORa(i,1,n) fa[i]=i; 39 FORa(i,1,m) 40 { 41 from=read(),to=read(),fdis=read(); 42 Add_edge(from,to,fdis); 43 Add_edge(to,from,fdis); 44 } 45 sort(edge+1,edge+1+n,cmp); 46 bz[1]=1; 47 FORa(i,1,m) 48 { 49 t1=find(edge[i].from),t2=find(edge[i].to); 50 if(t1!=t2) 51 { 52 fa[t1]=fa[t2]; 53 tot++; 54 sum+=edge[i].dis; 55 } 56 if(tot==n-1) break; 57 } 58 if(tot==n-1) 59 cout<<sum; 60 else 61 cout<<"orz"; 62 return 0; 63 } 64 inline int read() 65 { 66 register int x(0);register int f(1);register char c(gc); 67 while(c<'0'||c>'9')f=c=='-'?-1:1,c=gc; 68 while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=gc; 69 return f*x; 70 }
int Find(int x) 并差集 压缩路径
{if(fa[x]==x) return x;fa[x]=Find(fa[x]);}
FORa(i,1,n) fa[i]=i; 初始化，将父亲指向自己
sort(edge+1,edge+1+n,cmp);排序
FORa(i,1,m)
{
t1=Find(edge[i].from);t2=Find(edge[i].to);
if(t1!=t2) 并差集合并
cnt++,fa[t1]=t2,ans+=edge[i].dis;
if(cnt==n-1)
cout<<ans;return;
Prim算法
Prim算法采用与Dijkstra、Bellman-Ford算法一样的“蓝白点”思想：白点代表已经进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点。
算法描述：
以1为起点生成最小生成树，min[v]表示蓝点v与白点相连的最小边权。MST表示最小生成树的权值之和。
一：初始化：min[v]= ∞(v≠1); min[1]=0;MST=0;
二：for (i = 1; i<= n; i++)
1.寻找min[u]最小的蓝点u。
2.将u标记为白点
3.MST+=min[u]
4.for 与白点u相连的所有蓝点v
if (w[u][v]<min[v])
min[v]=w[u][v];
三：算法结束： MST即为最小生成树的权值之和
算法分析&思想讲解：
Prim算法每次循环都将一个蓝点u变为白点，并且此蓝点u与白点相连的最小边权min[u]还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加了n-1次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。
我们通过对下图最小生成树的求解模拟来理解上面的思想。蓝点和虚线代表未进入最小生成树的点、边；白点和实线代表已进入最小生成树的点、边。
初始时所有点都是蓝点，min[1]=0,min[2、3、4、5]=∞。权值之和MST=0。
第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。
min[2]=w[1][2]=2;
min[3]=w[1][3]=4;
min[4]=w[1][4]=7；
第二次循环是找到min[2]最小的蓝点2。将2变为白点，接着枚举与2相连的所有蓝点3、5，修改它们与白点相连的最小边权。
min[3]=w[2][3]=1;
min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
min[4]=w[3][4]=1;
由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所以不修改min[5]的值。
最后两轮循环将点4、5以及边w[2][5],w[3][4]添加进最小生成树。
最后权值之和MST=6。这n次循环，每次循环我们都能让一个新的点加入生成树，n次循环就能把所有点囊括到其中；每次循环我们都能让一条新的边加入生成树，n-1次循环就能生成一棵含有n个点的树；每次循环我们都取一条最小的边加入生成树，n-1次循环结束后，我们得到的就是一棵最小的生成树。这就是Prim采取贪心法生成一棵最小生成树的原理。算法时间复杂度：O (N2)。
1 #include<cstdio> 2 #include<queue> 3 #include<cstring> 4 #include<utility> 5 #include<algorithm> 6 #define FORa(i,s,e) for(i=s;i<=e;i++) 7 #define R register int 8 using namespace std; 9 10 int n,m,cnt,ans,head[5005],dis[5005],bz[5005]; 11 struct Edge 12 { 13 int next,to,dis; 14 }edge[400005]; 15 int num_edge; 16 void Add_edge(int from,int to,int dis) 17 { 18 edge[++num_edge]=(Edge){head[from],to,dis}; 19 head[from]=num_edge; 20 } 21 typedef pair <int,int> pp; 22 priority_queue <pp,vector<pp>,greater<pp>> q;//first dis second u 23 void Prim() 24 { 25 pp ft; 26 dis[1]=0; 27 q.push(make_pair(0,1)); 28 while(!q.empty()&&cnt<n) 29 { 30 ft=q.top(),q.pop(); 31 if(bz[ft.second]) continue; 32 cnt++,ans+=ft.first,bz[ft.second]=1; 33 for(R i=head[ft.second];i;i=edge[i].next) 34 if(dis[edge[i].to]>edge[i].dis) 35 dis[edge[i].to]=edge[i].dis,q.push(make_pair(dis[edge[i].to],edge[i].to)); 36 } 37 } 38 int main() 39 { 40 memset(dis,127,sizeof(dis)); 41 R from,to,fdis; 42 scanf("%d%d",&n,&m); 43 for(R i=1;i<=m;i++) 44 { 45 scanf("%d%d%d",&from,&to,&fdis); 46 Add_edge(to,from,fdis),Add_edge(from,to,fdis); 47 } 48 Prim(); 49 if (cnt==n)printf("%d",ans); 50 else printf("orz"); 51 }
#define PP pair<int,int>二元组存储最小生成树的信息
priority_queue<PP,vector<PP>,greater<PP>> q; 放入优先队列中，链式前向星储存，降低时空复杂度
memset(dis,63,sizeof(dis)); dis[1]=0; 赋初值
q.push(make_pair(0,1)); 随便将一个点插入队列
while(!q.empty()&&cnt<n)
{
p=q.top(),q.pop(); 取出蓝点中离最小生成树最小的点
if(bz[p.second]) continue;判重
cnt++,ans+=p.first,bz[p.second]=1;
for(i=head[p.second];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].dis<dis[edge[i].to]) 类似dijkstra的松弛操作，更新蓝点离最小生成树的距离
dis[edge[i].to]=edge[i].dis,q.push(make_pair(edge[i].dis,edge[i].to));
}
if(cnt==n) cout<<ans; 是否生成一颗最小生成树
【总结】
克鲁斯卡尔
- 并查集加排序
- 预处理，现将所有的节点的父亲指向自己
- 输入m条边，切记，只需要m条边
- 按每一条边的权值排序
- 最后并查集来查询，看是否加入到生成树中，注意并查集模板是这样写的
int Find(int x){if(fa[x]==x) return fa[x]; return fa[x]=Find(fa[x]);
- 最后查看是否是构造了一颗n个点，n-1条边的最小生成树
普里姆
- 对于构造边，就使用链式前向星，但是对于边的话就需要开两倍
- 初始化，将dis[]（这个点到最小生成树的最近的距离）赋值为一个极大的值，但是不能超过INF的二分之一，即为memset(dis,63,sizeof (dis))为一个较大的值，memset赋值的时候需要赋值为2的x次方-1
- 再用一个pair来储存队列节点的信息，宏定义 #define pair<int,int> pp
- 放入优先队列priority_queue<pp,vector<pp>,greater<pp> > q; 小根堆，默认为大根堆
- 两个连着的尖括号之间需要打空格
- Pair的比较，先比较first，在比较second，所以将dis存入first，u存入second
- 最外层循环为队列不为空且最小生成树还没有构建好while(!q.empty()&&cnt<n)
- 接着，退出队列中的对头，查看是否出现过，没有出现过就将此点打标记，cnt++，答案加上这条边的权值，扩散连接它的边，放入队列
感谢各位与信奥一本通的鼎力相助！