平衡树

一、二叉查找树

　　简介

　　　　二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　　　（1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；

　　　　（2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；

　　　　（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

　　　　（4）没有键值相等的节点。

　　1.二叉查找树的遍历

　　　　在二叉查找树中，从小到大输出结点的值，只需要对二叉树进行中序遍历

void Print(int u)
{
    if(!p[u].w) return;
    Print(p[u].lchild);
    printf("%d ",p[u].w);
    Print(p[u].rchild);
    //在二叉查找树中，从小到大输出结点的值，只需要对二叉树进行中序遍历
}

　　2.二叉查找树的查找

　　　　因为二叉查找树是有序的，所以要查找特定的值只需要二分查找即可，如果是非空结点，则查找成功，否则查找失败

int Find(int u)
{
    if(!p[u].w) return 0;
    if(p[u].w==find_x) return u;
    if(p[u].w<find_x) return Find(p[u].rchild);        
    if(p[u].w>find_x) return Find(p[u].lchild);
    //因为二叉查找树是有序的，所以要查找特定的值只需要二分查找即可，如果是非空结点，则查找成功，否则查找失败 
}

　　3.二叉查找树查找最值

　　　　找到以u为树根的权值最小的点,此点一定是u的递归操作下的左子树中的叶子结点 

int Find_Min(int u)
{
    if(!p[u].w) return 0;
    while(p[p[u].lchild].w) u=p[u].lchild;
    return u;//找到以u为树根的权值最小的点,此点一定是u的递归操作下的左子树中的叶子结点 
}

　　4.二叉查找树中插入结点

　　　　建立在查找的基础上，二分查找，注意的是可能有重复的点，这时候有两个解决方法

　　　　　　①插入到左子树中

　　　　　　②将结点打计数标记

　　　　假如当前结点为空，建立新的结点，结点的值就是当前插入结点的值，生成左右空子树

void Insert(int u)
{
    if(!p[u].w) {p[u].w=insert_x,p[u].cnt++;} 
    if(p[u].w<find_x) return Insert(p[u].rchild);        
    if(p[u].w>find_x) return Insert(p[u].lchild);
    /*假如当前结点为空，建立新的结点，结点的值就是当前插入结点的值，生成左右空子树
    有重复的结点的话，打计数标记解决 */
} 

　　5.二叉查找树中删除结点

　　　　分三种情况讨论

　　　　　　①叶子结点

　　　　　　②链结点

　　　　　　③有两个非空子节点
　　　　前面两个同样对待，用叶子结点代替本身，就等于用空节点代替，等同于删除

　　　　对于第三种情况，删除结点u，要用右子树中最小的值代替

　　　　

int Delete_Min(int u)
{
    if(!p[u].lchild) return u;
    else return Delete_Min(p[u].lchild);
    /*如果左子树为空，则直接用自己代替
    否则继续遍历左子树 */
}
void Delete(int u)
{
    if(p[u].w==delete_p)
    {
        if(p[u].cnt>1) {p[u].cnt--;return;}
        if(p[u].rchild&&p[u].lchild)
            p[u]=p[Delete_Min(p[u].rchild)];
        else p[u]=p[p[u].lchild+p[u].rchild];
        return;    
        /*找到值相同的节点，如果节点的cnt>1直接处理返回
        如果发现是链结点或者叶子结点，直接继承两个儿子的序列和的那一个节点
        假使是链节点的话，那么必定有一个结点为空，如果是叶子结点，都为空，就等同与删除了此叶子结点 */
    }    
    if(delete_p<p[u].lchild)  Delete(p[u].lchild);
    else Delete(p[u].rchild);    
} 

二、Treap

　　1.Treap 旋转(Zig/Zag)

　　　　左旋

　　　　右旋

　　2.Treap 插入(Insert)

　　3.Treap 删除(erase)

　　4.Treap 前驱(Pre)

　　5.Treap 后继(next)

　　6.Treap 排名(rank)

　　7.Treap 第K大(sort)

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