Luogu-P1896 [SCOI2005]互不侵犯

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测试得分：　　100

主要算法 ：　　状压DP(二进制优化)

题干：

　　　状压DP板子

分析

　　1.对于国王这道题，有点类似于八皇后问题，但是这个点限制条件少一些，简单地说就是一次筛选的点较少，所以会导致搜索的超时

　　2.那可不可以用多维DP呢？，对于每一行，我们知道它只于前一行与自身有关，满足了DP的无后效性原则，对于答案，是前面答案的汇总，通俗的讲就是满足最优子结构原理，所以yongDP

　　3.但是对于DP状态转移所需要的值太多了，有前一行的状态与这一行的状态还有应该选取的国王数目

　　4.对于状态记录繁琐，但是对于状态只有01两种选择，放与不放，所以可以将01串看作二进制数，则每一个状态对应一个唯一的十进制数，这就是这一题的核心思想状压

　　5.好了上代码了

　　代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define LL long long
#define FORa(i,s,e) for(LL i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(LL i=s;i>=e;i--)

using namespace std;

const LL N=10,SUM=1024,TRUES=144;/*每行骑士分布合法状态并没有这么多,我计算了一下最多也只有144个合法的状态 
但是多开一点没有关系哈，新手嘛，但手贱的我还是改了 
*/
LL n,k;
LL sum,ans,num[TRUES+1],s[TRUES+1];
LL f[N+1][TRUES+1][N*N+1];
/*
f[i][j][k]代表的是前i行并且第i行的状态是j&&安排的骑士个数是k时的合法方案
j原本是一维的有n个元素的数组，代表的是第i行的状态，但是对于状态只有01两种选择，放与不放
所以可以将01串看作二进制数，则每一个状态对应一个唯一的十进制数，这就是这一题的核心思想状压 
*/
void Pre()
{
    LL cnt;
    for(LL i=0,in=1<<n;i<in;i++)//枚举所有状态，筛选出合法状态 
    {
        if(i&(i<<1)) continue;//如果有两个1连在一起的话，直接过滤掉 
        cnt=0;
        for(LL j=0;j<n;j++)//累加这个状态中1出现的次数，这就是这个状态放置的骑士个数 
            if(i&(1<<j))
                cnt++;
        s[++sum]=i,num[sum]=cnt;//存储 
    }
    
}
void Solve()
{
    f[0][1][0]=1;//代表的是第0行不放时有1种选择，为什么第二个下标是1呢，因为s[1]为一个长度为n的只包含0的字符串 
    FORa(i,1,n)
        FORa(now,1,sum)//枚举现在这行的状态 
            FORa(pre,1,sum)//因为现在这行的状态至于上一行有关（最优子结构原理与无后效性原则）,枚举上一行的状态 
                if(!(s[now]&s[pre]))//如果上下两行之间没有列号为x的都是1的情况，继续 
                    FORa(tot,num[now],k)
                        if((!(s[now]&(s[pre]<<1)))&&(!(s[now]&(s[pre]>>1))))//判断对角线是否满足要求 
                            f[i][now][tot]+=f[i-1][pre][tot-num[now]];
    FORa(i,1,sum) ans+=f[n][i][k];//累加答案 
    printf("%lld",ans);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    Pre(),Solve();
    return 0;
}

总结：

　　1.DP状态的确定