hiho一下 第九十六周 数论五·欧拉函数

题目1 : 数论五·欧拉函数

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描述

小Hi和小Ho有时候会用密码写信来互相联系，他们用了一个很大的数当做密钥。小Hi和小Ho约定了一个区间[L,R]，每次小Hi和小Ho会选择其中的一个数作为密钥。

小Hi：小Ho，这次我们选[L,R]中的一个数K。

小Ho：恩，小Hi，这个K是多少啊？

小Hi：这个K嘛，不如这一次小Ho你自己想办法算一算怎么样？我这次选择的K满足这样一个条件：

假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y。

也即是K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。

小Ho：噫，要我自己算么？

小Hi：没错！

小Ho：好吧，让我想一想啊。

<几分钟之后...>

小Ho：啊，不行了。。感觉好难算啊。

小Hi：没有那么难吧，小Ho你是怎么算的？

小Ho：我从枚举每一个L,R的数i，然后利用辗转相除法去计算[1,i]中和i互质的数的个数。但每计算一个数都要花好长的时间。

小Hi：你这样做的话，时间复杂度就很高了。不妨告诉你一个巧妙的算法吧：

输入

第1行：2个正整数, L,R，2≤L≤R≤5,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的数字K

样例输入

4 6

样例输出

4

解答：

开始没看提示的时候想着用辗转相除，然后枚举，找出最小的fn，当数据特别大的时候，时间复杂度很高，然后提交TLE，超时了，代码也分享一下：

#include"iostream"
#define MAX 50000

using namespace std;

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
} 

int solve(int l,int r)
{
    int fn[MAX];
    int fn_date,min,loc;
    for (int i = l; i <= r; i++){
        fn_date = 0;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(gcd(i,j)==1)
                fn_date++;
            fn[i]=fn_date;
            //cout << fn[i] << endl;
        }

    min = fn[l];
    loc = l;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    if (fn[i]<min)
    {
        min = fn[i];
        loc = i;
    }

    return loc;
}

int main()
{
    int k,l,r;
    cin>>l>>r;
    
    cout<<solve(l,r);
    system("pause");
        
} 

改了的递推AC版本：

#include"iostream"
#define MAX 5000000

using namespace std;

bool isPrime[MAX+1];
int primeList[MAX+1];
int phi[MAX];
int primeCount = 0;

int solve(int l, int r)
{
    for (int i = 0; i <= MAX; i++)
        isPrime[i] = true, phi[i] = 1;

    for (int i = 2; i <= MAX; i++)
    {
        if (isPrime[i]) {
            primeList[++primeCount] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }

        for (int j = 1; j <= primeCount; j++) {
            if (i*primeList[j] > MAX) break;
            isPrime[i*primeList[j]] = false;
            if (i%primeList[j] == 0) {
                phi[i*primeList[j]] = phi[i] * primeList[j];
                break;
            }
            else phi[i*primeList[j]] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
        }
    }


    int min = l;
    for (int i = l; i <= r; i++)
    if (phi[i]<phi[min])
    {
        min = i;
    }

    return min;
}

int main()
{
    int k, l, r;
    cin >> l >> r;

    cout << solve(l, r);
    system("pause");

}