hiho #1143 : 骨牌覆盖问题·一 （运用快速幂矩阵）

#1143 : 骨牌覆盖问题·一

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描述

骨牌，一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题：
我们有一个2xN的长条形棋盘，然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘，一共有多少种不同的覆盖方法呢？
举个例子，对于长度为1到3的棋盘，我们有下面几种覆盖方式：

提示：骨牌覆盖

提示：如何快速计算结果

输入

第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 19999997

样例输入

62247088

样例输出

17748018









解题思路：
仔细观察可以看出是Fibonacci函数 f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
但当n特别大的时候，运算次数太多，必然超时。
所以引入：

斐波那契数列，快速矩阵幂解法。

当N很小的时候，我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候，只要我们的电脑足够好，我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的，总是这样直接枚举不是显得很Low么，所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上，对于这种线性递推式，我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列，我们希望找到一个2x2的矩阵M，使得(a, b) x M = (b, a+b)，其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然，只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了：

进一步得到：

那么接下来的问题是，能不能快速的计算出M^n？我们先来分析一下幂运算。由于乘法是满足结合律的，所以我们有：

不妨将k[1]..k[j]划分的更好一点？

其中(k[1],k[2]...k[j])2表示将n表示成二进制数后每一位的数字。上面这个公式同时满足这样一个性质：

结合这两者我们可以得到一个算法：
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)}，因为该数列满足递推公式，时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化，再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n，时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂，我们称之为“快速幂”算法。



AC代码：

#include"iostream"
#define MOD 19999997
using namespace std;

typedef long long LL;

struct Matrix
{
    LL matrix[2][2];
}ans,base;

Matrix mult(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 2; j++)
        {
            c.matrix[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 2; k++)
            {
                c.matrix[i][j] += (a.matrix[i][k] * b.matrix[k][j]) % MOD;
            }
            c.matrix[i][j] %= MOD;
        }
    }
    
    return c;
}



LL solve(LL n)
{
    base.matrix[0][1] = base.matrix[1][0] = base.matrix[1][1] = 1;
    base.matrix[0][0] = 0;

    //初始化单位矩阵
    ans.matrix[0][0] = ans.matrix[1][1] = 1;
    ans.matrix[0][1] = ans.matrix[1][0] = 0;

    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ans = mult(ans, base);
            //break;
        }
        base = mult(base, base);
        n >>= 1;     //n右移一位，n=n>>1  n/2

    }
    return ans.matrix[0][1] % MOD;
    
}

int main()
{
    LL n;
    scanf("%lld", &n);

    printf("%lld", solve(n+1) % MOD);
    system("pause");
}