hiho #1043 : 完全背包

01背包和完全背包解析

在上一节的01背包中，每种物品只能使用一次。

初始化j=V，逆序推能够保证 dp[v-c[i]] 保存的是状态是 dp[i-1][v-c[i]] ，也就是每个物品只被使用了一次；

而完全背包，每件物品的次数可以是0，也可以是任意次。

顺序的话 dp[v - c[i]] 保存的是 dp[i][v - c[i]] ，每个物品有可能被使用多次，也就是完全背包问题的解法。

//01背包
for(i = 0; i < N; i++)
{
    for (j = V; j >= c[i]; j--)  //
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
    }
}

//完全背包
for (int i = 0; i < N; i++)
{
    for (int j = c[i]; j <= V; j++) //
    {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
    }
}

题目：

#1043 : 完全背包

时间限制:20000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

且说之前的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！

等等，这段故事为何似曾相识？这就要从平行宇宙理论说起了………总而言之，在另一个宇宙中，小Ho面临的问题发生了细微的变化！

小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N种奖品，分别标号为1到N，其中第i种奖品需要need(i)张奖券进行兑换，并且可以兑换无数次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

提示一： 切，不就是0~1变成了0~K么

提示二：强迫症患者总是会将状态转移方程优化一遍又一遍

提示三：同样不要忘了优化空间哦！

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的种数，以及小Ho手中的奖券数。

接下来的n行描述每一行描述一种奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。

测试数据保证

对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5

对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入

5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897

样例输出

5940

AC代码：

#include "iostream"
#include "algorithm"

using namespace std;

int N, V;
int c[505], v[505];
int dp[100005];

int main()
{
    while (cin >> N >> V)
    {
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            cin >> c[i] >> v[i];
        }
        //逆序推能够保证 f[v-c[i]] 保存的是状态是 f[i-1][v-c[i]] ，也就是每个物品只被使用了一次；
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            //顺序的话 f[v - c[i]] 保存的是 f[i][v - c[i]] ，每个物品有可能被使用多次，也就是完全背包问题的解法。
            for (int j = c[i]; j <=V; j++)
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
            }
        }

        cout << dp[V] << endl;
    }
}