本来我是不想学这个东西的，但是谁让他考试考到了呢？
约瑟夫问题：
n个人(编号为0,1,...,n-1)围成一个圈子，从0号开始依次报数，每数到第m个人，这个人就得自杀，之后从下个人开始继续报数，直到所有人都死亡为止。问最后一个死的人的编号。
方法1：暴力 O(nm)
会打码的都知道。
方法2：白书P65 时间O(n) 空间O(1)
这是一个很容易理解的算法。
如果只关心最后一个人的编号，可以用$f(n)$表示0~n-1的n个数，从0开始每m个数删除一个，最后留下来的数字编号，那么有递推式$f(n)=(f(n-1)+m) mod n$。
怎么得来的呢？我们先用几个例子来看一看。
当n=5，m=3时：
0 1 2 3 4
死掉一个2：
0 1 3 4
相当于：
3 4 0 1
用这样排列方式的原因是我们可以发现
0 1 2 3
与
3 4 0 1
是可以一一对应的。
具体就是说$(0+3) mod 5 = 3$、$(1+3) mod 5 = 4$、$(2+3) mod 5 = 0$、$(3+3) mod 5 = 1$。
那么当m相同时，如果我们知道n=4的答案，就可以直接用此规律算出n=5的答案。
方法3：时间O(log n)，空间O(log n)
仍是递推，但是并不是很复杂。
我们现在思考每轮(如果目前有n个人，0到n-1全都报一遍数叫做一轮)前后的情况。
如果n=8,m=3，则：
0 1 2 3 4 5 6 7
死掉2和5：
0 1 . 3 4 . 6 7
重新编号：
2 3 . 4 5 . 0 1
注意，我专门把死掉两个人的位置空出来，是因为这样子更直观。
我们把重新编号的序列分为两部分。一部分是2~5，一部分是0~1。
假如在重新编号后最后死的人的编号是$x$，我们需要得到的答案是$Ans$。
那么有：
$egin{cases}& Ans =x + ( lfloor frac{n}{m} floor imes m ) , x leq n mod m \ & Ans = x - (n mod m) + ( lfloor frac{x-n mod m}{m-1} floor ) , x > n mod m end{cases}$
但是注意，在$n<m$的时候，这样做就没有意义了，所以这时候只能用方法2的递推式了。
方法4：时间O(log n)，空间O(1)
这个方法不仅可以求最后一个死的人的编号，而且可以求第k个(从0开始数)死的人的编号，而且写法贼简便，复杂度贼优秀，是当之无愧的好算法。
但是就没有前几个算法那么好懂了。
首先我们知道第$k$个自杀的人就是第$(k+1) imes m-1$次报数的人，根据他之前每次报数的时刻来确定他的编号。
例如n=5,m=3,k=5:
报数的时刻：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
人的编号： 0 1 2 3 4 0 1 3 4 1 3 1 3 3 3
我们知道第2、5、8、11、14个报数的要自杀。
我们设第$x=a imes m+b(b<m)$次自杀的人的编号为$y$。
$x$次报数后，一共死了$a=lfloor frac{x}{m} floor$人。
如果$y$这个人没有在这次报数后自杀，那么他还需要等待剩下$n-a$人报数后才会再报数。
即他下次报数将是 $t=x+n-a=a imes m+b+n-a=a imes (m-1)+b+n$ 时刻。
那么如果我们知道这一次他报数的时刻$t$，反过来求上一次报数的时刻$x$呢？
那就是：$x=t-n+a=t-n+lfloor frac{t-n}{m-1} floor$。
我们知道如果知道第$k$个人最后一次报数的时刻，然后反着推他上一次报数的时刻，一直到时刻数$< n$(因为是从0开始的)的时候，时刻数就是他的编号。