2 内积空间与等距变换

关联：0 复习与引申、1 线性空间与线性变换

线性空间的具体模型是三维几何空间，但是几何空间中的度量概念——向量的长度及向量间夹角在第1章的线性空间中还没有体现，而这种度量概念在有些问题中是需要的。本章中引进与几何空间中向量的数量积相对应的内积，在此基础上定义向量的长度、夹角，最后介绍几何空间中直角坐标变换相对应的等距变换。

内积与内积空间

若一个二元函数满足四条公理：

• 共轭对称性
• 齐次性
• 可加性
• 正定性

即，要判断一个复（实）线性空间的复（实）函数是否为内积，只要验证内积定义中的4条性质满足即可。

在欧氏空间中：\(<\alpha,\beta>=\beta^T \alpha\)
在酉空间中：\(<\alpha,\beta>=\beta^H \alpha\)

则该二元函数为内积，它所属的线性空间为内积空间。
特别地，当数域为实数域时为欧氏空间；数域为复数域时为酉空间。

在数域为复数域时，用共轭转置H来代替在实数域中的直接转置T是因为要保证结果为正数，而复数的平方会出现负数的情况，因此要取共轭。

• 要证明内积空间的非空子集是子空间，除利用子空间性质，还要证明保持内积性质。

长度与夹角

• \(Cauchy-Буняковский\)不等式
• 三角不等式
  可以用向量和距离两种方式表示。
• 勾股定理

夹角的定义

\(cos \phi=\frac{<\alpha,\beta>}{||\alpha||·||\beta||}\)，称\(\phi\)为\(\alpha\)与\(\beta\)的夹角

• 若\(<\alpha,\beta>=0\)，则称向量\(\alpha\)与\(\beta\)正交，记为\(\alpha ⊥ \beta\).

距离的定义

称\(d(\alpha,\beta)=||\alpha-\beta||\)，为\(\alpha\)与\(\beta\)的距离。

正交基与Schmidt正交化

正交向量组与正交基的定义

由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组
由两两正交的单位向量组成的向量组称为标准正交向量组

作为正交向量组的基称为正交基
作为标准正交向量组的基称为标准正交基

由此，在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵。

Schmidt正交化方法

正交化+单位化→标准正交基
※ 注意：标准正交基不唯一。

这里可以结合度量矩阵来计算正交化过程中每一项之前的系数。

• 例题：
  假设\(V\)在基\(\epsilon_1，\epsilon_2\)下的度量矩阵是\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\)，求\(V\)的一组标准正交基。

解：

1. 正交化：\(\beta_1=\epsilon_1\)
   \(\beta_2=\epsilon_2-\frac{<\epsilon_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1\)=\(\epsilon_2-\frac{1}{2}\epsilon_1\)=\(\epsilon_2-2\epsilon_1\)

注意这里代入了度量矩阵的\((1,1)\)和\((2,1)\)两项。
定义\(\alpha=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}\)，用于之后单位化。

2. 单位化：\(r_1=\frac{1}{||\beta_1||}\beta_1=\epsilon_1\)
   \(r_2=\frac{1}{||\beta_2||}\beta_2=\frac{1}{\sqrt{<\beta_2,\beta_2>}}\beta_2=\beta_2=\epsilon_2-2\epsilon_1\)，其中\(<\beta_2,\beta_2>=\alpha^TA\alpha=\begin{pmatrix}-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=1\)

这里“其中”后的内容很重要，结合度量矩阵简化了运算。

• \(V=R_3[x]\)（数域\(R\)上次数小于3的全体多项式及零多项式）默认的基为\(1，x，x^2\)，可以直接使用。

标准正交基的扩张定理

同普通的基一样，标准正交基也存在扩张定理。
假设\(W\)是\(V\)的子空间，那么\(W\)的一组标准正交基可以结合其他几个向量扩充为\(V\)的标准正交基。

度量矩阵

一组基的度量矩阵有如下性质：

• 度量矩阵是正定的
• 不同基的度量矩阵是合同的

度量矩阵的本质就是基中各向量的内积的结果。

酉矩阵

若\(A^HA=I\)，则称n阶复矩阵A为酉矩阵。
且同时满足，\(A\)是酉矩阵\(\leftrightarrows A^HA=I \leftrightarrows A^{-1}=A^H\leftrightarrows A\)的行（列）向量组是\(C^n\)的标准正交基。

酉矩阵其实就是在复数域内的正交矩阵。

可逆阵的UT分解

设\(A\)为\(n\)阶可逆阵，则存在酉阵\(U\)即主对角元恒正的上三角阵\(T\)，使

\[A=UT ，\]

且这种分解唯一。

正交子空间

• 若要证明一个向量与线性空间正交，只需要证明这个向量与该线性空间的每一生成元都正交。

这里的生成元指的是生成子空间中的生成向量组的概念。（可以把生成元理解为基）。
详情可以看上一章的笔记。

正交补空间

• 设\(W≤V\)，记

\[W^⊥=\left\{\alpha ∈ V\ |\alpha ⊥ W\right\} \]

易证这是\(V\)的子空间，称是\(V\)的正交补空间。

• 定理：若\(W≤V\)，则\(V=W\oplus W^⊥\)，且该正交补空间唯一。
• 推论：若\(W≤V\)，则\((W^⊥)^⊥=W\)

正交补空间的应用

• \([R(A)]^⊥=K(A^H)\)、\([K(A)]^⊥=R(A^H)\)
• 正投影（最佳逼近）和最短距离
  设W是内积空间V的有限维子空间，则对V中任一向量\(\alpha\)必存在唯一\(\beta ∈W\)，使\(d(\beta,\alpha)=\mathop{min}\limits_{\zeta ∈W} d(\zeta,\alpha)\leftrightarrows (\beta-\alpha)⊥W\)，称如上\(\beta\)为\(\alpha\)在子空间\(W\)上的正投影，也叫\(\beta\)是\(\alpha\)在子空间\(W\)上的最佳逼近，\(||\beta - \alpha||\)为\(\alpha\)到\(W\)的最短距离。
  求正投影的示例：
  

本质其实就是使得 差向量 对于线性空间的每一个 生成元 都正交。

• 内积空间正交直和分解
  两个正交子空间下的向量与其对应的正投影正交，即互为正交投影，同样地，差向量的模也被称为\(\alpha\)到\(W\)的最短距离。
• 最小二乘解
  可以用来求线性方程组的最佳近似解。
  

等距变换

等距变换就是内积空间中保持内积不变的线性变换。特别地，当\(V\)是酉空间时，称为酉变换；当\(V\)是欧氏空间时，称为正交变换。
对于等距变换\(f\)，以下四个条件等价：

• 保持长度不变
• 保持内积不变
• 将标准正交基变为标准正交基
• 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵

证明内积空间的线性变换\(T\)是等距变换，只要证明\(T\)保持内积不变，或者证明\(T\)将标准正交基变成标准正交基。

备注：\(<f(x),f(y)>+<f(y),f(x)>=2Re<f(x),f(y)>\)，这里的\(Re\)表示取实部的意思。

• 示例：
  

注意这里的内积其实可以当做一个数来看待，因此可以直接提出去。且单位向量的内积为1.
这个例子其实就是镜像变换。