4 Hermite二次型

关联：0 复习与引申、1 线性空间与线性变换、2 内积空间与等距变换、3 矩阵的相似标准形
本质上Hermite阵其实就是复数域下的对称阵，而酉矩阵对应复数域下的正交矩阵。
进而由对称阵又可以引出二次型以及与对角阵的合同。

Hermite阵、正规阵

Hermite二次型与Hermite矩阵

• 定义：
  
• 性质：
  

若 \(U\) 为酉矩阵，则 \(U^H=U^{-1}\)。

正规阵

• 定义：
  
• 定理：
  

提到正规阵就要想到用酉矩阵把它变成对角阵。

• 推论：
  
  

幂零阵的特征值全部为0。若幂零阵同时还是正规阵的话，则该矩阵为 \(O\)。

Hermite二次型

共轭合同

• 可以证明：
  

• 定义：
  

• 共轭合同满足：反身性、对称性、传递性。

标准形

• 在共轭合同意义下的标准形不唯一。
• 系数仅为1、-1和0的标准形称之为规范形。

惯性定理

• 正惯性指数+负惯性指数=秩

正定性

只有Hermite矩阵才会考虑正定性，所以在证明正定之前要先证明是Hermite阵。

• 如何建立判别方法：
  
• 一些等价命题（常用于判别正定）：

1. \(A\)是正定阵；
2. 与\(A\)共轭合同的是正定阵；
3. \(A\)的正惯性指数为n；
4. \(A\)的特征值全大于零；
5. \(A=S^2\)，其中\(S\)为正定阵；
6. \(A=P^HP\)，其中\(P\)为可逆阵，即\(A\)共轭合同与单位阵\(I\)；
7. \(A\)的各顺序主子式均大于零；
8. 若酉矩阵\(A\)是正定的，则\(A=I\)。

• 其他正定性：
  

正定矩阵与半正定矩阵的和一定是正定矩阵。

• 关于半正定阵的等价条件：
  

注意这里第四条并未限制矩阵\(P\)是否为可逆方阵，第五条是“各主子式”而非“各顺序主子式”。

奇值分解

它在矩阵的广义逆中有用。

• 推论（方阵的极分解）

Rayleigh商

可以利用\(X^HAX\)的值来研究\(A\)的特征值。

• 定义：
  

不难看出，若\(X_0\)是\(A\)的特征值\(\lambda_0\)对应的特征向量，则\(R(X_0)\)的值为\(\lambda_0\)。另外\(Hermite\)阵的\(Rayleigh\)商之值是实数。

• 定理：
  

注意这里强调一定是\(Hermite\)阵，否则该定理不成立。