【题目分析】
快速傅里叶变换用于高精度乘法。
其实本质就是循环卷积的计算,也就是多项式的乘法。
两次蝴蝶变换。
二进制取反化递归为迭代。
单位根的巧妙取值,是的复杂度成为了nlogn
范德蒙矩阵计算逆矩阵又减轻了拉格朗日插值法的复杂度。
十分神奇。
【代码】
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <set> #include <map> #include <string> #include <algorithm> #include <vector> #include <iostream> #include <queue> using namespace std; #define maxn 200005 #define Complex cp #define F(i,j,k) for (int i=j;i<=k;++i) #define D(i,j,k) for (int i=j;i>=k;--i) #define mlog 16 #define inf (0x3f3f3f3f) int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while (ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} return x*f; } struct cp{ double x,y;//虚数可表示为 x+y*i i^2=-1 cp operator + (cp a) {return (cp){x+a.x,y+a.y};} cp operator - (cp a) {return (cp){x-a.x,y-a.y};} cp operator * (cp a) {return (cp){x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x};} }a[maxn],b[maxn],c[maxn]; double pi=acos(-1.0); // π int n,m,rev[maxn],len,ans[maxn]; char s[maxn]; void FFT(Complex * x,int n,int f) { F(i,0,n-1) if (rev[i]>i) swap(x[rev[i]],x[i]); //构造迭代的形式 for (int m=2;m<=n;m<<=1) { Complex wn=(Complex){cos(2.0*pi/m*f),sin(2.0*pi/m*f)}; //当前的主单位根 for (int i=0;i<n;i+=m) { Complex w=(Complex){1.0,0}; for (int j=0;j<(m>>1);++j) { Complex u=x[i+j],v=x[i+j+(m>>1)]*w;//计算对应的多项式的值 x[i+j]=u+v; x[i+j+(m>>1)]=u-v; w=w*wn;//在复数域中旋转一个角度 } } } } int main() { n=read(); scanf("%s",s); F(i,0,n-1) a[i].x=s[n-1-i]-'0'; scanf("%s",s); F(i,0,n-1) b[i].x=s[n-1-i]-'0'; m=1; n=2*n-1; while (m<=n) m<<=1,len++; n=m; F(i,0,n-1) { int t=i,ret=0; F(j,1,len) ret<<=1,ret|=t&1,t>>=1; rev[i]=ret; }//二进制翻转,便于化分治为循环迭代 FFT(a,n,1); FFT(b,n,1); //FFT F(i,0,n-1) c[i]=a[i]*b[i]; FFT(c,n,-1); //IFFT F(i,0,n-1) ans[i]=(c[i].x/n)+0.5;//精度QAQ F(i,0,n-1) ans[i+1]+=ans[i]/10,ans[i]%=10;//进位QwQ n++; while (!ans[n]&&n) n--; D(i,n,0) printf("%d",ans[i]); }