【动态规划】【NOIP2015】子串

Description

有两个仅包含小写英文字母的字符串A和B。现在要从字符串A中取出k个互不重叠的非空子串，然后把这k个子串按照其在字符串A中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串B相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

Input Description

第一行是三个正整数n，m，k，分别表示字符串A的长度，字符串B的长度，以及问题描述中所提到的k，每两个整数之间用一个空格隔开。 

第二行包含一个长度为n的字符串，表示字符串A。 第三行包含一个长度为m的字符串，表示字符串B。

Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对1,000,000,007取模的结果。

Sample Input

Input1

6 3 1 

aabaab 

aab

Input2

6 3 2 

aabaab 

aab

Input3

6 3 3 

aabaab 

aab

Sample Output

Output1

2

Output2

7

Output3

7

Data Size & Hint

对于第1组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=1； 

对于第2组至第3组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=2； 

对于第4组至第5组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，k=m； 

对于第1组至第7组数据：1≤n≤500，1≤m≤50，1≤k≤m； 

对于第1组至第9组数据：1≤n≤1000，1≤m≤100，1≤k≤m； 

对于所有10组数据：1≤n≤1000，1≤m≤200，1≤k≤m。

所有合法方案如下：（加下划线的部分表示取出的子串）

样例一：aab aab / aab aab

样例二：a ab aab / a aba ab / a a ba ab / aab a ab / aa b aab / aa baa b / aab aa b

样例三：a a b aab / a a baa b / a ab a a b / a aba a b / a a b a a b / a a ba a b / aab a a b

Solution

做法是动态规划

f[i][j][k]表示a中前i个字符 选k个子串 组成bj的方案数

s[i][j][k]表示a中前i个字符 包含第i字符 选k个子串 组成bj 的方案数
f=i选+i不选的方案 即 f[i][j][k]=s[i][j][k]+f[i-1][j][k]
通过s来判断i是否选择
因为s包含第i个
所以 当a[i]==b[j] 时
 s[i][j][k]=s[i-1][j-1][k](i，j与前面的数在同一子串）+ f[i-1][j-1][k-1]（反之）
当 a[i]!=b[j]时 s[i][j][k]=0;

#include<cstdio>

int n,m,kk,yh=1e9+7;
char a[1005],b[205];
int s[2][205][205];
int f[2][205][205];
int now=1,last=0;

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&kk);
    scanf("%s",a+1);
    scanf("%s",b+1);
    f[0][0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[now][0][0]=1;
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            for (int k=1;k<=kk;k++)
            {
                if (a[i]==b[j])
                    s[now][j][k]=(f[last][j-1][k-1]+s[last][j-1][k])%yh;
                else 
                    s[now][j][k]=0;
                f[now][j][k]=(f[last][j][k]+s[now][j][k])%yh;

            }
        }
        now=now^1,last=last^1;
    }
    printf("%d",f[last][m][kk]);
}