题解：SDOI2017 新生舞会
Description
学校组织了一次新生舞会，Cathy 作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。
有 (n) 个男生和 (n) 个女生参加舞会。一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。
Cathy 收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认不认识，计算得出 (a_{i,j}) ，表示第 (i) 个男生和第 (j) 个女生一起跳舞获得的愉快程度。
Cathy 还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 (b_{i,j}) ，表示第 (i) 个男生和第 (j) 个女生一起跳舞时的不协调程度。
一个方案中有 (n) 对舞伴，假设每对舞伴的愉快程度分别为 (a'_1,a'_2,dots,a'_n) ，不协调程度分别为 (b'_1,b'_2,dots,b'_n) ，
我们令
Cathy 希望方案的 C 值最大。
当然，还需要考虑许多其他问题。
Cathy 想先用一个程序通过 (a_{i,j}) 和 (b_{i,j}) 求出一种方案，再手动对方案进行微调。
Cathy 找到你，希望你帮她写那个程序。
(1 leq n leq 100, 1 leq a_{i,j},b_{i,j} leq 10^4)
Algorithm
看见题目给了个 (large C = frac{sum_{i = 1}^{n} a'_i}{sum_{i = 1}^{n} b'_i}) 的式子，阅题无数的同学一定就知道怎么做了：分数规划嘛。
题目要求最优化地安排一种方案，使得给定的描述方案性价比的比例式取得最值。
除非你能证明某种贪心策略的正确性，否则从正面考虑这样的问题是极端困难的。
01分数规划的思路则是从反面入手，我们二分答案。
我们二分最终的比值 (C) ，如果存在某种方案的比值更优，则存在：
反之同理。
于是问题变成了不断验证是否存在 (sum_{i = 1}^{n} (C cdot b'_i - a'_i) > 0) 继而不断缩小 (C) 的可能取值范围。
换言之，如果我们实现了一个 (check(c)) 函数能实现对应功能的话，就只需要这样写：
double l = 0, r = 1e6, mid;
while(r - l > eps)
{
mid = (l + r) / 2;
if(check(mid) < 0) l = mid;
else r = mid;
}
我以为分数规划是一个令人心潮澎湃的算法。它既有理性的色彩，又极富暴力的美感，而且简单得惊人。
接下来考虑如何实现这个 (check(c)) 。
先把题面上那个 (a'_i,b'_i) 的一撇的扒掉。
现在问题本质上是给定一个矩阵 (c) ，满足 (c_{i,j} = (C cdot b_{i,j} - a_{i,j})) ，
要求要在矩阵中选出 (n) 个数字，满足不存在任意两个选中的数组在同一行或同一列。
怎么做呢？
-
我会暴力！(O(n!)) 全排列！
……那还分数规划干啥
-
我会状压 DP ！用 (dp_{i,j}) 表示现在考虑到第 (i) 行，所有列是否已经取数的状态压缩成数字 (j) 。
……复杂度 (O(n^2 cdot 2^n cdot log 1e6)) ，大概能过 (40\%) ？
-
我会费用流！
可以发现问题本质上是个男女匹配问题，于是考虑建立费用流模型。
考虑样例
[a=egin{bmatrix} 19 & 17 & 16 \ 25 & 24 & 23 \ 35 & 36 & 31 \ end{bmatrix} ,~~ b = egin{bmatrix} 9 & 5 & 6 \ 3 & 4 & 2 \ 7 & 8 & 9 \ end{bmatrix} ]假如我们要验证 (C = 1) 的情况，那么有
[c = egin{bmatrix} 10 & 12 & 10 \ 22 & 20 & 21 \ 28 & 28 & 22 \ end{bmatrix} ]建立这样一个图（本来想标注权值的，但是太糊了还是算了吧）：
令图上所有边的流量上限都是 1 ，这就保证了最大流只能跑过图中的一些匹配。
令图中 (M_i o F_j) 的边权为 (c_{i,j}) ，与 (s,t) 连接的所有边权都为 0，那么我们需要验证的值就是跑最大流所经边权之和的最小值，也就是最小费用最大流。
有关最小费用最大流的实现，我是使用 (Dijkstra) 配合势能函数魔改dinic的版本。
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const double eps = 1e-7; template<const int N, const int M> class Graph { private: typedef pair<double, int> Node; priority_queue<Node> que; const double INF = 1e7; int beg[N], nex[M], tar[M], cap[M], ite[N], len; double pot[N], dis[N], cst[M]; bool vis[N]; public: int n, s, t; inline void clear() { memset(pot, 0, sizeof(pot)); memset(beg, 0, sizeof(beg)); memset(nex, 0, sizeof(nex)); len = 1; } Graph() { clear(); } inline void add_edge(int a, int b, int c, double d) { ++len, tar[len] = b, cap[len] = c, cst[len] = d; nex[len] = beg[a], beg[a] = len; } inline void add_pipe(int a, int b, int c, double d) { add_edge(a, b, c, +d); add_edge(b, a, 0, -d); } inline bool dijkstra(int s, int t) { fill(dis, dis + n + 1, INF); que.push(Node(dis[s] = 0, s)); while(!que.empty()) { Node cur = que.top(); que.pop(); int u = cur.second; if(-cur.first > dis[u]) continue; for(int i = beg[u]; i; i = nex[i]) { int v = tar[i]; double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v]; if(cap[i] && dis[v]- tmp > eps) que.push(Node(-(dis[v] = tmp), v)); } } return dis[t] < INF; } int dfs(int u, int flo) { if(u == t) return flo; int rst = flo; vis[u] = true; for(int &i = ite[u]; i; i = nex[i]) { int v = tar[i]; if(vis[v] || !cap[i]) continue; double tmp = dis[u] + cst[i] + pot[u] - pot[v]; if(fabs(tmp - dis[v]) < eps) { int res = dfs(v, min(rst, cap[i])); rst -= res; cap[i] -= res; cap[i ^ 1] += res; } } vis[u] = false; return flo - rst; } inline Node costflow() { Node ret = Node(0, 0); while(dijkstra(s, t)) { memcpy(ite, beg, sizeof(ite)); int res = dfs(s, INF); for(int i = 1; i <= n; ++i) if(dis[i] < INF) pot[i] += dis[i]; ret.first += res * pot[t]; ret.second += res; } return ret; } }; template<class T> inline void read(T &x) { char c = getchar(); x = 0; while(c < '0' || '9' < c) c = getchar(); while('0' <= c && c <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48; c = getchar(); } } int n, a[128][128], b[128][128]; Graph<256, 32768> G; double check(double c) { G.clear(); G.s = n + n + 2, G.n = G.t = G.s + 1; for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) G.add_pipe(i, j + n, 1, - a[i][j] + c * b[i][j]); for(int i = 1; i <= n; ++i) { G.add_pipe(G.s, i, 1, 0); G.add_pipe(i + n, G.t, 1, 0); } return G.costflow().first; } int main() { read(n); for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) read(a[i][j]); for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) read(b[i][j]); double l = 0, r = 1e6, mid; while(r - l > eps) { mid = (l + r) / 2; if(check(mid) < 0) l = mid; else r = mid; } cout << fixed << setprecision(6) << mid << endl; return 0; }