洛谷团队月赛题:题解

$10pts$

暴力算不解释，时间复杂度$O(kn+k^2)$。

$30pts$

我们观察到$n$很大，杨辉三角会T，直接算会上溢，所以需要预处理出$1$~$k$逆元再算，时间复杂度$O(kn+nlogk+n^2)$或$O(kn+n+k+n^2)$。

$60pts$

代入几个$k$，发现数列通项是一个多项式，故$S_n$也有一个通项；观察次数，可知$a_n$等于一个$k$次多项式，那么$S_n$等于一个$k+1$次方多项式，拉格朗日插值+高斯消元解出$S_n$表达式即可，当然也要预处理逆元，时间复杂度为$O(k^3)$。

$80pts$

不要被$n$吓到，还是先算表达式，代入时高精度取模即可，时间复杂度为$O(k^3+klgn)$，其中lg为以10为底的对数。

$100pts$

手推！发现$S_n=C_{n+k}^{k+1}$，那么就可以$O(klgn)$出答案了。