【YBTOJ】【单调队列优化DP】写博客

写博客

小泽发了一篇博客，由 (n) 个小写英文字母组成，由于包含违禁词，被自动隐藏。

具体地，违禁词有 (m) 个，分别为 (T_1,T_2,dots,T_m) 。

小泽发现，只要博客中，连续地包含了其中违禁词，那么博客就会被自动隐藏。换言之，对于任意 (1leq ileq m) ， (T_i) 都不能是最终发表的博客 (S) 的子串。

于是小泽决定在原来的博客 (S) 上把一部分字母替换成空格，使得它不再包含违禁词。如果她把第 (i) 个字母替换成空格，与之相邻的两个字母将不会连续，但是整篇博客的价值会减少 (a_i) 。

小泽想要知道，如何替换可以得到一篇不会被自动隐藏的博客，而价值的减少量最少。请你帮她回答这个问题。

(1leq n=|S|leq2 imes10^5) ， (1leq mleq10) ， (1leq|T_i|leq2 imes10^5) ， (0leq a_ileq 1000).

题解

设原串是 a 串，违禁词串为 b 串。

将 b 串在 a 串内跑kmp，找到每个 b 串在 a 串中出现的位置（设为线段((l,r))）。

则原问题转化为：选取权值最小的点集，覆盖所有线段。

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• 设 (dp_i) 表示必定选取点 (i) ，且覆盖所有位置在点 (i) 及 (i) 之前的线段，所用的最小代价。
• 另设 (pre_i) 表示严格以 (i) 为右端点的所有线段中，左端点最大的线段的左端点值。

如下图，其 (pre_i) 为 (x_2) .

考虑：对于一个 (dp_i) ，显然有 (dp_i=dp_j+w_i)。

那么， (j) 的范围应该是什么？

我们重新考虑 dp 的定义。

(dp)表示“覆盖所有位置在点 (i) 及 (i) 之前的线段”。

拆分此定义来看：

1. 覆盖所有在 (i) 之前的线段
2. 覆盖所有经过 (i) 的线段

对于1.，显然是用 (dp_j) 覆盖，并转移而来。

对于2.，则是用 (w_i) 来覆盖。

形象化地来说，对于下图：

对于点 (i) ，其左侧所有绿色线段由 (dp_j) 来覆盖，经过它的所有蓝色线段由 (i) 来覆盖，右侧黑色线段暂不考虑。

除去一些线段，得到如下：

对于点 (i-1) ，有一条线段经过它，其左端点为(pre_{i-1})。

使用 (dp_{j}) 来覆盖绿色线段时，必定要让 (j) 来覆盖掉所有在 ([pre_{i-1},i-1]) 之间的线段。

由此可知，(jin[pre_{i-1},i-1]).

总 DP 式： (dp_i = minlimits_{j=pre_{i-1}}^{i-1}{dp_j}+w_i).

显然，强制使 (pre) 单调不降后，答案必定成立。

这样，可以使用单调队列来优化 dp .

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关于为什么 (j) 的左端点不可取 (pre_i)：

• 由于点 (i) 表示右端点是 (i) 的线段，这些线段会被 (i) 覆盖，而不是 (j) .

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f,N = 2e5+5;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
	ll ret=0;char ch=' ',c=getchar();
	while(!(c>='0'&&c<='9'))ch=c,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')ret=(ret<<1)+(ret<<3)+c-'0',c=getchar();
	return ch=='-'?-ret:ret;
}
int n,m,w[N];
template <typename T> struct dque{
	T a[N]; int st=1,ed=0;
	dque(){st=1,ed=0;}
	inline void clear(){st=1,ed=0;}
	inline int size(){return ed-st+1;}
	inline bool empty(){return !(ed-st+1);}
	inline void pop_front(){st++;}
	inline void pop_back(){ed--;}
	inline T front(){return a[st];}
	inline T back(){return a[ed];}
	inline void push_back(T x){a[++ed] = x;}
	inline T operator [] (int x){return a[st+x-1];}
};
int fail[N],pre[N];

void kmp(char a[],char b[]){
	int len = strlen(b+1);
	memset(fail,0,sizeof(int)*(len+1));
	for(int i=2,j=0 ; i <= len ; i ++){
		while(j && b[j+1] != b[i]) j = fail[j];
		j += b[j+1] == b[i];
		fail[i] = j;
	}
	for(int i=1,j=0 ; i <= n ; i ++){
		pre[i] = max(pre[i],pre[i-1]);
		while(j && b[j+1] != a[i]) j = fail[j];
		j += b[j+1] == a[i];
		if(j == len) pre[i] = max(pre[i],i-len+1) , j = fail[j];
	}
}
char a[N],b[N];
int dp[N];
signed main(){
	n = read() , m = read();
	scanf("%s",a+1);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		w[i] = read();
	while(m--){
		scanf("%s",b+1);
		kmp(a,b);
	}
	dque<int> q;
	q.push_back(0);
	n++;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
		while(!q.empty() && q.front() < pre[i-1]) q.pop_front();
		dp[i] = dp[q.front()] + w[i];
		while(!q.empty() && dp[q.back()] > dp[i]) q.pop_back();
		q.push_back(i);
	}
	printf("%d",dp[n]);
	return 0;
}