线段树，每个节点都代表一个区间，左儿子和右儿子分别是父亲的左右子区间
线段树 线段树初始化 void build(int pos,int l,int r) { if(l==r) {tree[pos]=a[l];return;} int mid=(l+r)>>1; build(lson,l,mid); build(rson,mid+1,r); tree[pos]=max(tree[rson],tree[lson]); }
单点修改时，从根节点出发，二分地查询x所在区间，递归到左儿子或右儿子，直至叶子结点 O(log(n)) #define rson (2*(pos)+1) #define lson (2*(pos)) void modify(int pos,int l,int r,int x,int y)//编号为pos,在区间l~r，找到x元素，将x改成y { if(l==r) {tree[pos]=y;return;} int mid=(l+r)/2; if(x<=mid) modify(lson,l,mid,x,y) else modify(rson,mid+1,r,x,y); tree[pos]=max(tree[rson],tree[lson]);//pos区间最大值为左右子区间最大值 }
区间查询 int query(int pos,int l,int r,int x,int y)//查询x~y { if(x<=l&&r<=y) return tree[pos]; int mid=(l+r)>>1; int ret=0;//保存递归过程所获得的区间最值 if(x<=mid) ret=max(ret,query(lson,l,mid,x,y)); if(y>mid) ret=max(ret,query(rson,mid+1,r,x,y)); return ret; }
线段树维护 区间和同维护区间最大值想类似，把max改成+ 区间修改 O(log(n)) void pushdown(int pos,int l,int r) { int mid=(r+l)>>1; tsum[lson]+=lazy[pos]*(mid-l+1); lazy[lson]+=lazy[pos]; tsum[rson]+=lazy[pos]*(r-mid); lazy[rson]+=lazy[pos]; lazy[pos]=0; }
void modify(int pos,int l,int r,int x,int y,int k)// x~y加上k { if(x<=l&&r<=y){ tsum[pos]+=k*(r-l+1);//区间修改 lazy[pos]+=k; return; } pushdown(pos,l,r);//l~r不完全包含于x~y int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) modify(lson,l,mid,x,y,k); if(y>mid) modify(rson,mid+1,r,x,y,k); tsum[pos]=tsum[rson]+tsum[lson]; }
修改过后的区间求和 int query(int pos,int l,int r,int x,int y) { if(x<=l&&r<=y) return tsum[pos]; pushdown(pos,l,r); int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) ret+=query(lson,l,mid,x,y); if(y>mid) ret+=query(rson,mid+1,r,x,y); return ret; }
组合型区间操作 给定一定长度n的非负整数序列a, A l r k 将a[l,r]每个值加上k B l r k 将a[l,r] 每个值乘上k p x y 询问 max(i=x~y)a[i] Q x y 询问x~y区间和
小白逛公园
描述
小新经常陪小白去公园玩，也就是所谓的遛狗啦…在小新家附近有一条“公园路”，路的一边从南到北依次排着n个公园，小白早就看花了眼，自己也不清楚该去哪些公园玩了。
一开始，小白就根据公园的风景给每个公园打了分-.-。小新为了省事，每次遛狗的时候都会事先规定一个范围，小白只可以选择第a个和第b个公园之间（包括a、b两个公园）选择**连续**的一些公园玩。小白当然希望选出的公园的分数总和尽量高咯。同时，由于一些公园的景观会有所改变，所以，小白的打分也可能会有一些变化。
那么，就请你来帮小白选择公园吧
通过读题，可得是关于区间问题，单点修改，以及区间子段求最大值
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define max2 500100 #define rson ((pos)*2+1) #define lson ((pos)*2) int a[max2]; struct node1{ int sum,lmax,rmax,tmax; };//sum代表节点所代表区间l-r的总和，lmax是从左边l开始向右的最大值，rmax是以右r结点向左的最值，tmax代表该段区间最值 node1 node[max2*4]; void sum(int pos,int l,int r){//初始化，求原始数据，每个节点的区间和，以及最值 if(l==r) {node[pos].sum=a[l]; node[pos].lmax=a[l]; node[pos].rmax=a[l]; node[pos].tmax=a[l]; return;} int mid=(l+r)>>1; sum(lson,l,mid); sum(rson,mid+1,r); node[pos].sum=node[lson].sum+node[rson].sum; node[pos].lmax=max(node[lson].lmax,node[lson].sum+node[rson].lmax);//lmax等于子结点max(lmax,左儿子区间和+右儿子以左端点为起点的最大值) node[pos].rmax=max(node[rson].rmax,node[lson].rmax+node[rson].sum); node[pos].tmax=max(node[lson].rmax+node[rson].lmax,max(node[rson].tmax,node[lson].tmax)); } void update(int pos,int l,int r,int x,int y)//单点修改，并用回溯法修改结点信息 { if(l==r) {node[pos].sum=y; node[pos].lmax=y; node[pos].rmax=y; node[pos].tmax=y; return;} int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) update(lson,l,mid,x,y); else update(rson,mid+1,r,x,y); node[pos].sum=node[lson].sum+node[rson].sum; node[pos].lmax=max(node[lson].lmax,node[lson].sum+node[rson].lmax); node[pos].rmax=max(node[rson].rmax,node[lson].rmax+node[rson].sum); node[pos].tmax=max(node[lson].rmax+node[rson].lmax,max(node[rson].tmax,node[lson].tmax)); } node1 modify(int pos,int l,int r,int x,int y)//查询 { if(x<=l&&y>=r) {return node[pos];} int mid=(l+r)>>1; if(y<=mid) return modify(lson,l,mid,x,y);//区间在左 if(x>mid) return modify(rson,mid+1,r,x,y);//区间x,y在右 if(x<=mid&&y>mid){//区间x,y覆盖两边 node1 tree,tree1,tree2; tree1=modify(lson,l,mid,x,y),tree2=modify(rson,mid+1,r,x,y); tree.lmax=max(tree1.lmax,tree1.sum+tree2.lmax); tree.rmax=max(tree2.rmax,tree2.sum+tree1.rmax); tree.sum=tree1.sum+tree2.sum; tree.tmax=max(tree1.rmax+tree2.lmax,max(tree1.tmax,tree2.tmax)); return tree; } } int main() { int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; sum(1,1,n); while(m--) { int k,p,s; cin>>k>>p>>s; ret1=0,ret2=0; if(k==1) { int x,y; x=min(p,s),y=max(p,s); cout<<modify(1,1,n,x,y).tmax<<endl; } else if(k==2){ update(1,1,n,p,s); } } }
区间维护，区间加，区间乘
洛谷 P2023
题目描述
老师交给小可可一个维护数列的任务，现在小可可希望你来帮他完成。 有长为N的数列，不妨设为a1,a2,…,aN 。有如下三种操作形式：
(1)把数列中的一段数全部乘一个值;
(2)把数列中的一段数全部加一个值;
(3)询问数列中的一段数的和，由于答案可能很大，你只需输出这个数模P的值。
可以先分析一下，x~y区间加上k，再乘以u，因为设立的两个标记，规定先算乘再算加。如果加k，再乘以y，加法标记应该为k*y，乘法分配律！！l代表区间长度。（sum+k*l）*y，
所以，sum*y+k*l*y,所以lazy[pos]=k*y
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define max2 500100 #define rson ((pos)*2+1) #define lson ((pos)*2) long long a[max2]; long long sum[max2*4],lazy[max2*4],lazy1[max2*4]; long long q; void init(int pos,int l,int r) { if(l==r) {sum[pos]=a[l];return;} int mid=(l+r)>>1; init(lson,l,mid); init(rson,mid+1,r); sum[pos]=(sum[rson]+sum[lson])%q; } void pushdown(int pos,int l,int r)//设立两个下标，lazy代表加法下标，lazy1代表乘法下标。先算乘再算加； {//儿子的加法标记应该为父亲的加法标记+儿子原来加法标记*父亲乘的标记（因为父亲乘y时，儿子也需要乘y,加法标记也需要*y） int mid=(l+r)>>1; sum[lson]=(sum[lson]*lazy1[pos])%q; sum[lson]=(sum[lson]+lazy[pos]*(mid-l+1))%q; sum[rson]=sum[rson]*lazy1[pos]%q; sum[rson]=(sum[rson]+lazy[pos]*(r-mid))%q; lazy1[lson]=lazy1[lson]*lazy1[pos]%q; lazy1[rson]=lazy1[rson]*lazy1[pos]%q; lazy[lson]=(lazy[pos]+lazy[lson]*lazy1[pos])%q; lazy[rson]=(lazy[pos]+lazy[rson]*lazy1[pos])%q; lazy1[pos]=1; lazy[pos]=0; } void modify(int pos,int l,int r,int x,int y,int u,int k) { if(x<=l&&r<=y){ if(k==1){ sum[pos]=(sum[pos]*u)%q; lazy1[pos]=lazy1[pos]*u%q; lazy[pos]=(lazy[pos]*u)%q;return; } if(k==2){ sum[pos]=(sum[pos]+u*(r-l+1))%q; lazy[pos]=(lazy[pos]+u)%q; return; } } pushdown(pos,l,r); int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) modify(lson,l,mid,x,y,u,k); if(y>mid) modify(rson,mid+1,r,x,y,u,k); sum[pos]=(sum[rson]+sum[lson])%q; } long long query(int pos,int l,int r,int x,int y){ if(x<=l&&r<=y) {return sum[pos];} int mid=(l+r)>>1; pushdown(pos,l,r); long long ret=0; if(x<=mid) ret+=query(lson,l,mid,x,y); if(y>mid) ret+=query(rson,mid+1,r,x,y); return ret%q; } int main() { int n,m; cin>>n>>q; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; for(int i=1;i<=4*n;i++) lazy[i]=0,lazy1[i]=1; init(1,1,n); cin>>m; while(m--) { int k,p,s,u; cin>>k; if(k==1){ cin>>p>>s>>u; if(p>s) swap(p,s); modify(1,1,n,p,s,u,k); } if(k==2){ cin>>p>>s>>u; if(p>s) swap(p,s); modify(1,1,n,p,s,u,k); } if(k==3){ cin>>p>>s; if(p>s) swap(p,s); cout<<query(1,1,n,p,s)%q<<endl; } } return 0; }