【模板】莫比乌斯反演

一、莫比乌斯反演

我们先来看一个函数：(F(x)=sum_{dmid x} f(d))

我们先枚举一下这个函数的各个值

(F(1)=f(1))

(F(2)=f(1)+f(2))

(F(3)=f(1)+f(3))

(F(4)=f(1)+f(2)+f(4))

(F(5)=f(1)+f(5))

(F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6))

(F(7)=f(1)+f(7))

(F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8))

于是，我们可以反过来推导出关于(f(n))的关系式

(f(1)=F(1))

(f(2)=F(2)-F(1))

(f(3)=F(3)-F(1))

(f(4)=F(4)-F(2)-F(1))

(f(5)=F(5)-F(1))

(f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1))

(f(7)=F(7)-F(1))

(f(8)=F(8)-F(4))

我们可以得到(F(x)=sum_{dmid x} f(d)Rightarrow f(x)=sum_{dmid x}mu(d)F(frac{n}{d})qquad)

其中，我们可以了解到一个新的函数：莫比乌斯函数

二、莫比乌斯函数：(mu(x))

这是莫比乌斯函数，定义如下

1. 若 (x=1)，则 (mu(x)=1)

2. 若 (x=p{1}p{2}p{3}dots p{k})，且(p{i})为互不相同的质数，则有(mu(x)=(-1)^k)

3. 其他情况中 (mu(x)=0)

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莫比乌斯函数中有用的性质还是挺多的，这里就只列出一个最常用的炒鸡重要的性质

(sum_{dmid n}mu(d)=[n=1])

这条性质可以运用到很多与(gcd)有关的题目中的推导式子中，非常重要

同时，莫比乌斯函数还是一个积性函数

在这里给大家提及一下积性函数(f)：既当(gcd(i,j)=1)时，(f(xy)=f(x)f(y))的函数叫积性函数

积性函数的性质

1. (f(1)=1)
2. 积性函数的前缀和也是积性函数

莫比乌斯函数就是借助了它是积性函数的特点，使其可以通过线性筛得到

求莫比乌斯函数(mu)的代码

inline void init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演和函数可以运用在很多题目的公式推导上，重点还是公式的推导

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三、整除分块

整除分块是在莫比乌斯反演题中重要的一环，将询问的复杂度的从(O(n))优化成(O(sqrt n))，可以成功解决大多数数据较大的题目，十分重要

整除分块用于求(sum_{i=1}^nleft lfloor frac{n}{i} ight floor)的普遍情况（并不强制如上形式）下，只要满足有规律的一段区间中的值是相同的，就可以用整除分块。我们来看看对于较简单的整除分块。

若令(n=22,x=left lfloor frac{n}{i} ight floor)，则有：

(i=1)时，(x=22)

(i=2)时，(x=11)

(i=3)时，(x=7)

(i=4)时，(x=5)

(i=5)时，(x=4)

(i=6)时，(x=3)

(i=7)时，(x=3)

(i=8)时，(x=2)

(i=9)时，(x=2)

(i=10)时，(x=2)

(i=11)时，(x=2)

(i=12)时，(x=1)

(i=13)时，(x=1)

(vdots)

(i=22)时，(x=1)

由上可以看到，由几段区间的(x)是相同的，我们可以通过(l=（上一次的r） +1，r=n/(n/l))得到区间([l,r])，可以(O(1))时间算出这段区间的(x)的和，最后起到求和的作用

void solve()
{
	int ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans+=(r-l+1)*(n/(n/l));
	}
}