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  • [bzoj2226][Spoj5971]LCMSum_欧拉函数_线性筛

    LCMSum bzoj-2226 Spoj-5971

    题目大意:求$sumlimits_{i=1}^nlcm(i,n)$

    注释:$1le nle 10^6$,$1le cases le 3cdot 10^5$。


    想法:$sumlimits_{i=1}^nlcm(i,n)$

    $=sumlimits_{i=1}^nfrac{in}{gcd(i,n)}$

    $=ncdot sumlimits_{i=1}^n frac{i}{gcd(i,n)}$

    $=ncdot sumlimits_{d=1}^nsumlimits_{i=1}^{n}i/d[gcd(i,n)=d]$

    $=ncdot sumlimits_{d|n}sumlimits_{i=1}^{frac{n}{d}}i[gcd(i,frac{n}{d})=1]$

    $=ncdot sumlimits_{d|n}sumlimits_{i=1}^{d}i[gcd(i,d)=1]$

    $=ncdot sumlimits_{d|n}frac{varphi(d)cdot d}2$

    $=n/2cdot sumlimits_{d|n}varphi(d)cdot d$

    令$f(n)=varphi(n)cdot n$。显然是一个积性函数。所以$sumlimits_{d|n}f(d)$是一个积性函数。所以可以线筛。

    最后,附上丑陋的代码... ...

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define N 1000010
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int m=1000000;
    int phi[N],prime[N],tot;
    ll f[N];
    bool np[N];
    int main()
    {
    	int cases,n;
    	for(int i=2;i<=m;i++)
    	{
    		if(!np[i]) phi[i]=i-1,prime[++tot]=i;
    		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=m;j++)
    		{
    			np[i*prime[j]]=1;
    			if(i%prime[j]==0)
    			{
    				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
    				break;
    			}
    			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
    		}
    	}
    	for(int i=2;i<=m;i++)
    	{
    		for(int j=i;j<=m;j+=i)
    		{
    			f[j]+=(ll)i*phi[i]/2;
    		}
    	}
    	scanf("%d",&cases);
    	while(cases--)scanf("%d",&n),printf("%lld
    ",(f[n]+1)*n);
    	return 0;
    }
    

    小结:这种题推式子就好了啊qwq。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ShuraK/p/9538131.html
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