树网的核

题目描述 Description

　　设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结

点。

　　路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。

　　D(v, P)=min{d(v, u), u为路径P上的结点}。

　　树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树

网的中心。

　　偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

　　任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径

为树网T=(V, E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

　　下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果

指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

输入输出格式 Input/output

输入格式：

输入文件core.in包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

所给的数据都是争取的，不必检验。

输出格式：

输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

输入样例1】

5 2

1 2 5

2 3 2

2 4 4

2 5 3

【输入样例2】

8 6

1 3 2

2 3 2 

3 4 6

4 5 3

4 6 4

4 7 2

7 8 3

【输出样例1】

5

【输出样例2】

5

40%的数据满足：5<=n<=15

70%的数据满足：5<=n<=80

100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数

NOIP 2007 提高第四题

题目分析：先进行题目中定义的整理。

    路径：d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结

点间的距离。

    树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：

    各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。 证明：设A为路径1的中点。枚举得到路径2。设路径2的中点为B。若A<>B，则因为图是无环连

通的，所以必有路径1大于或小于路径2。得证。

    偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即ECC(F)=max{d(v, F)，v∈V}

解析：因为点的个数不超过300，我们可以用Floyd直接计算两点间的最短路径。显然我们只需要一条直径。求直径的方法是选择节点1，找到离它最远的一个节点i，接着再求离i最远的节点j。d(i,j)即

为直径（利用直径的最大性可证）

    接着枚举直径中的边。显然如果d(i,k)+d(k,j)=d(i,j)那么k是直径中的点。接着枚举与k相连的点q作为终点。显然，路径外最远的一点必然是直径的端点（否则直径不为最长）。计算路径起止点到

离其较近端点的距离。最后输出最小的偏心距即可。

代码如下（C++崩溃了，只好用Pascal写）：

 

var i,j,k,n,s,a,b,c,st,ed,maxnow,ans,q:longint;
  map:array[1..300,1..300]of longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
  if a>b then exit(a);
  exit(b);
end;

function min(a,b:longint):longint;
begin
  if a<b then exit(a);
  exit(b);
end;

begin
 readln(n,s);
 for i:=1 to n do
   for j:=1 to n do
     if (i<>j) then map[i,j]:=1111117;

 for i:=1 to n-1 do
   begin readln(a,b,c); map[a,b]:=c; map[b,a]:=c;  end;

 for k:=1 to n do
   for i:=1 to n do
     for j:=1 to n do
       if ( (map[i,k]+map[k,j])<map[i,j] ) then
         begin
           map[i,j]:=map[i,k]+map[k,j];
           map[j,i]:=map[i,j];
         end;

 maxnow:=0; st:=0; ed:=0;
 for i:=2 to n do if (map[i,j]<>1111117)and(map[1,i]>maxnow) then
   begin
     maxnow:=map[1,i]; st:=i;
   end;
 maxnow:=0;
 for i:=1 to n do 
    if (map[i][st]<>1111117)and(map[i,st]>maxnow)  then 
      begin maxnow:=map[i][st]; ed:=i; end;

 ans:=1111117;
 for k:=1 to n do
   for q:=1 to n do
     if (map[k,q]<=s) then
       if (max(min(map[st][k],map[st][q]),min(map[k][ed],map[q]ed]))<ans) then
         ans:=max(min(map[st][k],map[st][q]), min(map[k][ed],map[q][ed]));
 writeln(ans);
end.