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  • 回档|欧几里得算法和扩展欧几里得算法

    欧几里得算法:用于求两个非负整数a、b的最大公因数(用gcd(a,b)表示)。这里用d表示,假设d一定存在。
    证明:由题设知d|a,d|b(d|a代表d能整除a,即a mod d=0)
     

          设a=kb+r,这里k和r都是整数。则r=a mod b。
           我们可以让a=n1d,b=n2d。则r=(n1-k*n2)d
           ∴d|r  ∴gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

    扩展的欧几里得算法:
    对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
    证明:设 a>b。
      1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
      2,ab!=0 时
      设 ax1+by1=gcd(a,b);
      bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
      根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
      则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
      即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
      根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
          这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
       上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。
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