四边形不等式

写在前面

四边形不等式这个东西感觉就是一个数学公式，定义和证明还是比较好理解的，但就是不会用

在P4767 [IOI2000]邮局 中就需要这个四边形不等式来优化才能AC

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以下大多全部来自百度360百科

定义

• 如果对于任意的a1≤a2<b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

优化

• 设m[i,j]表示动态规划的状态量。

  m[i,j]有类似如下的状态转移方程:

  m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

  m满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件

  对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

  通常的动态规划的复杂度是O(n^3)，我们可以优化到O(n^2)

  定义s(i,j)为函数m(i,j)对应的使得m(i,j)取得最小值的k值。

  我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

  那么改变状态转移方程为:

  m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

  复杂度分析:不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

  (s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

  所以总复杂度是O(n)

证明：

• 对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明:

  设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

  对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j](这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似)，接下来只要证明mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有mk[i+1,j]≥md[i+1,j]

  (mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])

  =(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])

  =(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

  =(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])

  ∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

  ∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0

  ∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

  证毕

拓展：

• 以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

  解决这类问题的大概步骤是:

  1. 证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件
  2. 证明m满足四边形不等式
  3. 证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]