LIS的优化

二分优化

在求一个最长不上升自序列中，显然其结尾元素越小，越有利于接其他元素，对答案的贡献也就可能会更高

那么我们可以用low[i]去存长度为i的LIS结尾元素的最小值

因此我们只要维护low数组

对于每一个a[ i ]，如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度]，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面，即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。

那么，怎么维护 low 数组呢？
对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则，就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分 low 数组，找出第一个大于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

例题

P2782 友好城市

先将所有城市排序，然后发现就是一个最长不下降子序列

但暴力只能拿50pts

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5+5;
struct good{
    int n,s;
    bool operator < (const good &b) const {return n == b.n ? s < b.s : n < b.n; }
}a[MAXN];
int n, ans;
int f[MAXN];
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d%d", &a[i].n, &a[i].s);
    }
    
    sort(a+1, a+n+1);
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        f[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j){
            if(a[j].n < a[i].n && a[j].s < a[i].s){
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, f[i]);
    }
    
    printf("%d", ans);
    
    return 0;
}

考虑一下上面的优化，因为北岸的城市是排好的，所以low数组里只需存南岸

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: LIS + 二分优化 
Time: O(nlogn)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define INF 2100000000
using namespace std;
const int MAXN = 2e5+5;
struct good{
    int n,s;
    bool operator < (const good &b) const {return n == b.n ? s < b.s : n < b.n; }
}a[MAXN];
int n, ans;
int f[MAXN], low[MAXN];

int ef(int r, int k){    
    int mid, l = 0;
    while(l <= r){
        mid = (l + r) >> 1;
        if(low[mid] <= k){
            l = mid + 1;
        }
        else{
            r = mid - 1;
        }
    }
    return l;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d%d", &a[i].n, &a[i].s);
        low[i] = INF;
    }
    
    sort(a+1, a+n+1);
    
    low[1] = a[1].s;
    ans = 1;
    
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        if(a[i].s > low[ans]){
            low[++ans] = a[i].s;
        }
        else{
            low[ ef(ans, a[i].s) ] = a[i].s;
        }
    }
    
    printf("%d", ans);
    
    return 0;
}