中国剩余定理

Q：中国剩余定理很难吗？

A：就是个求解同余方程组的东东

(话说 (OI) 只要能理解应用就好吧，证明是不是可以先放一放)因为我太菜了

---

《孙子算经》中有这么一道题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

翻译一下就是：已知一个正整数模3余2，模5余3，模7余2，求这个数是几？

写成数学语言，就是求解同余方程组

[egin{aligned} & x equiv 2 pmod 3 \ & x equiv 3 pmod 5 \ & x equiv 5 pmod 7 \ end{aligned} ]

乍一看，这不很简单蛮，随便带近两个数试试不就行了

但是你先在可以直接观察并且数据小，如果数据大了呢，同余方程组不只是三个呢？

这就需要我们的“中国剩余定理”登场了

中国剩余定理公式：

设正整数 (m_1, m_2, m_3, ···,m_k) 两两互素，则同余方程组

[egin{aligned} & x equiv a_1 pmod {m_1} \ & x equiv a_2 pmod {m_2} \ & x equiv a_3 pmod {m_3} \ & ··· \ & x equiv a_k pmod {m_k} end{aligned} ]

有整数解。并且在模 (M = m_1 imes m_2 imes ··· imes m_k) 下解是唯一的，解为

[x equiv (a_1 M_1 M_1^{-1} + a_2 M_2 M_2^{-1} + ··· + a_k M_k M_k^{-1}) mod M ]

其中 (M_i = M / m_i) ， 而 (M_i^{-1}) 为 (M_i) 模 (m_i) 的逆元

中国剩余定理拓展：（求解模数不互质情况下的同余方程组）

普通中国剩余定理要求所有的 (m_i) 互素，那么如果不互素呢？怎么求解同余方程组？

这种情况可以考虑两两合并，假设合并如下两个方程：

[x = a_1 + m_1 x_1 ]

[x = a_2 + m_2 x_2 ]

那么得到：

[a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2 Rightarrow m_1 x_1 + m_2 x_2 = a_2 - a_1]

我们需要求出一个最小的 (x) 使它满足：

[x = a_1 + m_1 x_1 = a_2 + m_2 x_2 ]

那么 (x_1) 和 (x_2) 的值要仅可能的小，于是我们又扩展欧几里得算法求出 (x_1) 的最小整数解，将它代回 (a_1 + m_1 x_1) ，得到 (x) 的一个特解 (x^{,}) ，当然也是最小整数解。

所以 (x) 的通解一定是 (x^{,}) 加上 (lcm(m_1,m_2) imes k) 这样才能保证 (x) 模 (m_1) 和 (m_2) 的余数是 (a_1) 和 (a_2) 。由此，我们把这个 (x^{,}) 当做新的方程的余数，把 (lcm(m_1,m_2) imes k) 当做新的方程的模数。（这一段是关键）

合并完成：

[x equiv x^{,} pmod {lcm(m_1,m_2)} ]

---

想学中国剩余定理很久了，第一次听说是在夏令营的时候，看到同宿舍某大佬的课程表上有这个名词，感觉挺高大上的，前几天忙着期中考咕咕咕了，如今终于有机会更一篇关于它的笔记了，开心>-<!