DP中的树上边/点覆盖问题

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• 树上边覆盖问题
  • 例：luoguP2016 战略游戏
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• 树上点覆盖问题
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树上边覆盖问题

例：luoguP2016 战略游戏

简述题意：

每个节点都能放一个士兵，每个士兵能看守与他相邻的所有边，求覆盖所有边最少需要多少士兵？

Solution:

设 (f[x][1/0]) 表示回溯到第 (x) 个点时所用士兵数量， (1) 表示在这里放一个士兵， (0) 表示不放

显然珂推得转移方程：

[f[x][1] = 1 + sum_{v in son[x]}min(f[v][1]，f[v][0]) ]

[f[x][0] = sum_{v in son[x]} f[v][1] ]

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int MAXN = 1610;

struct edge{
	int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge;
int n, k;
int f[MAXN][2];

int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	return s * w;
}
 
void add_edge(int from, int to){ e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge; }

void dfs(int x, int fa){
	f[x][1] = 1;
	// cout<<x<<endl;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
		f[x][1] += min(f[v][1], f[v][0]);
		f[x][0] += f[v][1];
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i){
		x = read(), x++;
		k = read();
		for(int j = 1, v; j <= k; ++j){
			v = read(), v++;
			add_edge(x, v), add_edge(v, x);
		}
	}

	dfs(1, 0);

	printf("%d", min(f[1][1], f[1][0]));

	return 0;
}

树上点覆盖问题

例：P2458 [SDOI2006]保安站岗

简述题意

每个保安可以保护自己的点和相邻点，求将树上所有点都覆盖最少所需保安数

Solution

设 (f[u][0/1/2]) 表示回溯到第 (u) 个点时所用士兵数量， (0) 表示在自己这里放一个士兵， (1) 表示被儿子覆盖， (2) 表示被父亲覆盖

转移方程：

[f[u][0] = sum_{v in son[u]} min(f[v][0],f[v][1],f[v][2]) ]

[f[u][1] = f[x][0] + sum_{v in son[u] And And v != x} min(f[v][0], min[v][1]) ]

[f[u][2] = sum_{v in son[u]} min(f[v][0], f[v][1]) ]

感觉 (f[u][0]) 和 (f[u][2]) 的转移方程都比较显然

对于 (f[u][1]) 因为不同于树上边覆盖问题，它可以被自己的儿子覆盖，所以对儿子的要求是：要么是被自己覆盖，要么被自己的儿子覆盖

但对于 (u) 本身要保证自己的儿子中有一个是被自己覆盖，所以要求出最优的那个儿子 (x) 就好了，可以枚举所有儿子，这里介绍一种数学式子优化

最优的 (x) 满足 (f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1])) 最小

参考题解

证明：

因为 (x) 满足 (f[u][1] = f[x][0] + sum_{v in son[u] And And v != x} min(f[v][0], min[v][1]))

设 (F(u, x) = f[x][0] + sum_{v in son[u] And And v != x} min(f[v][0], min[v][1]))

假设 (x) 不是最优的， 则必有一个 (y) 满足 (F(u, x) > F(u, y))

将这个式子化简得（可以将相同的部分消掉）

(f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1]) > f[y][0] - min(f[y][0], f[y][1]))

所以有最优的 (x) 满足 (f[x][0] - min(f[x][0], f[x][1])) 最小

证毕

下面是代码时间：

Code:

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;
const int MAXN = 1e6+6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct edge{
	int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge;

int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	return s * w;
} 

int n;
int f[MAXN][3];

void add_edge(int from, int to){
	e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge;
}

void dfs(int x, int fa){
	int sson = 0;
	int minn = 988888889;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
		f[x][0] += min(f[v][0], min(f[v][1], f[v][2]));
		f[x][2] += min(f[v][0], f[v][1]);
		if(f[sson][0] - min(f[sson][0], f[sson][1]) > f[v][0] - min(f[v][0], f[v][1])) sson = v;
	}
	f[x][1] = f[sson][0];
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt){
		int v = e[i].to;
		if(v == fa || v == sson) continue;
		f[x][1] += min(f[v][0], f[v][1]);
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for(int i = 1, m, u, v; i <= n; ++i){
		u = read(), f[u][0] = read(), m = read();
		for(int j = 1; j <= m; ++j){
			v = read();
			add_edge(u, v), add_edge(v, u);
		}
	}
	f[0][0] = inf;
	dfs(1, 0);
	printf("%d", min(f[1][0], f[1][1]));
	return 0;
}

其他两个树上点覆盖问题例题，稍微改一下输入即可，一个套路随便搞：

P2899 [USACO08JAN]Cell Phone Network G

T155737 搬书

最后欢迎大家来补充啊，团队私题要是涉及隐私的话可以联系我