写在前面
鸣谢：
OiWiki
「笔记」AC 自动机---LuckyBlock
字符串四姐妹---老色批
AC自动机讲解超详细---某不知名大佬
Q：AC自动机？是能自己AC题目的算法吗？（兴奋）
A：不不不，那叫自动AC机，通过打开答案文件输出答案的一种小手段，在比赛中使用还会有禁赛三年的奖励，而AC自动机是一个字符串匹配算法
AC自动机，全称(Aho-Corasick automaton)，是一种用来处理字符串多模式匹配的算法
本人将尽可能详细的解释AC自动机的算法流程(其实大部分抄的Oiwiki，这是一个帮助我们共同理解的过程，毕竟作者也是个萌新。开始接受的过程可能比较困难，但多回顾几遍还是有助于理解的
算法流程
什么是自动机？（粘个链接，感性理解就好，不要过于执着）
引例：
给定 (n) 个模式串 (s_i) 和一个文本串 (t)，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。
两个模式串不同当且仅当他们编号不同。
概述：
结合Trie的结构和KMP的思想建立，建立一个AC自动机主要通过两个步骤：
-
1、建立Trie树；
-
2、对Trie树上的所有结点构造失配指针
Trie树的构建（第一步）
这个Trie树就是普通的Trie树，该怎么建怎么建
解释一下Trie树结点的含义：表示某个模式串的前缀
后文也将称作状态。一个结点表示一个状态，Trie树的边就是状态的转移
形式化的说，对于若干个模式串 (s_1,s_2,s_3···s_n)，将它们构建一个Trie树后的所有状态的集合记为 (Q)
失配指针（第二步）
AC 自动机利用一个 fail 指针来辅助多模式串的匹配。
状态 (u) 的 fail 指针指向另一个状态 (v) ，其中 (v in Q) ，且 (v) 是 (u) 的最长后缀（即在若干个后缀状态中取最长的一个作为 fail 指针）。
注意和KMP的next指针的区别：
两者都是在失配的时候用于跳转的指针；
next指针求的是最长的border（最长的 相同的 前后缀），而fail指针指向所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀
因为 KMP 只对一个模式串做匹配，而 AC 自动机要对多个模式串做匹配。有可能 fail 指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。
AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。
构建失配指针
（可以参考KMP中构建next指针的思想（
考虑更新 (fail_u)，(u) 的父节点是 (p) , (p) 通过字符 (c) 的边指向 (u) ，即 (tr[p,c] = u) 。假设深度小于 (u) 的所有结点的 (fail) 指针均已求得。
如果 (tr[fail_p,c]) 存在：则让 (fail_u) 指向 (tr[fail[p],c]) 。相当于在 (p) 和 (fail) 后面加一个字符
c，分别对应 (u) 和 (fail_u) 。
如果 (tr[fail_p,c]) 不存在：那么我们继续找到 (tr[fail_{fail_p},c],c]) 。重复 (1) 的判断过程，一直跳 (fail_u) 指针指到根结点。
如果真的没有，就让 (fail_u) 指针指向根结点。
这样就完成了 (fail) 的构建，并得到一份比较暴力的构建方式，我们来看优化
字典树和字典图
先来看构建函数 build() ，该函数的目标有两个，一个是构建 fail 指针，一个是构建自动机。
void build(){
for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
//如果存在这个边就入队
while(!q.empty()){
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = 0; i < 26; ++i){
if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
//按照上面所说的方式更新fail指针
else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];//这是那个优化，后面会讲
}
}
}
原来的构建方法可以通过 (while) 循环寻找 (fail) 结点实现，循环太多次导致复杂度太高
上面提到的优化就是通过else语句的代码修改了字典树的结构。
而它将不存在的字典树状态链连接到失配指针的对应状态。使得再次遍历这里的时候会继续向下跳转，起到一个通过继续开链来压缩路径的效果，这样就能节省很多时间。
这样AC 自动机修改字典树结构连出的边就会使字典树变为字典图
会不会影响原树？在原字典树中，每一个结点代表一个字符串 ，是某个模式串的前缀。而在修改字典树结构后，尽管增加了许多转移关系，但结点（状态）所代表的字符串是不变的。
多模式匹配
（这只是对于引例的query函数，具体题目的函数写法可能不太相同）
int query(char *t){
int u = 0, res = 0;
for(int i = 1; t[i]; ++i){
u = tr[u][t[i] - 'a'];
for(int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]){
res += e[j], e[j] = -1;
}
}
return res;
}
这里 (u) 作为字典树上当前匹配到的结点， (res) 即返回的答案。循环遍历匹配串， (u) 在字典树上跟踪当前字符。利用 (fail) 指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清零。对 (cnt[j]) 取反的操作用来判断 (cnt[j]) 是否等于 (-1)。在上文中我们分析过，字典树的结构其实就是一个 (trans) 函数，而构建好这个函数后，在匹配字符串的过程中，我们会舍弃部分前缀达到最低限度的匹配。(fail) 指针则指向了更多的匹配状态。
例题
P3808 【模板】AC自动机（简单版）
P3796 【模板】AC自动机（加强版）
P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）