数据结构Splay

目录

• 前言
• 正文
  • 简介
  • 结构
  • 结点维护信息
  • 几个基本操作
  • 旋转操作
  • Splay操作/双旋优化旋转
  • 其他的几个操作
  • 板子代码

前言

目前只会板子，板子太难背了啊

先占个坑，以后再填

Update 20210228：把坑填了

鸣谢：「笔记」Splay ----- Luckyblock 及Lb手把手的指导 我要高声赞美Lb！
Oi-wiki 及 Luckyblock 提供的图片支持

正文

简介

Splay 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。

Tarjan！又是 Tarjan！

结构

Splay 基于二叉搜索树
对于树上任意结点满足： 左儿子结点值 < 该节点值 < 右儿子结点值

结点维护信息

在接下来的叙述中，我们将遵循如下变量名习惯

root : 根节点
node_num : 已用过的节点数
now_ : 当前结点
fa[now_] : 存储 now_ 结点的父亲结点
son[now_][0/1] : 存储 now_ 结点的左/右儿子结点
val[now_] : 当前结点的值
cnt[now_] : 当前结点的出现次数
siz[now_] : 以 now_ 为根的子树大小
top : 还有几个删掉的结点
bin[] : 用来存储删掉的结点，减少结点消耗，从而减少空间

几个基本操作

• Push_up(x)：更新操作，更新该节点子树大小
• Whichson(x)：判断该节点是左儿子还是右儿子
• clear(x)：清除该节点相关信息

旋转操作

防止Splay退化成一条链造成复杂度爆炸
本质就是将某结点位置上移

大体分为左旋和右旋（其实代码一毛一样的）

粘个Oi-wiki的图

旋转时需要保证

• 树的性质不变，即仍需保证 左节点 < 该节点 < 右结点
• 结点维护的信息不变。
• root 要永远指向树根

旋转过程

观察上面的图，不难发现旋转过程分三步：

• 如果该节点有爷爷，那么让他的fa指向他的爷爷。让他替代他父亲的位置成为他爷爷的儿子。
• 如果该节点是左儿子，那么让该节点的右儿子变成该节点父亲结点的左儿子。反之让该节点的左儿子变成该节点父亲节点的右儿子。
• 如果该节点是左儿子，那么让他的父亲变成他的右儿子。反之让他的父亲变成他的左儿子。

代码实现：

 void Rotate(int now_){//旋转操作 
	int fa_ = f, w = Whichson(now_);//查询now_是左（右）儿子 
	if(fa[f]) son[fa[f]][Whichson(f)] = now_;//原父亲的父亲的儿子指向now_ 
	f = fa[f];//now_的父亲指向原父亲的父亲 
		
	son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];//父亲的新左儿子是now_的右儿子，父亲的新右儿子是now_的左儿子 
	fa[son[fa_][w]] = fa_;//原父亲的新儿子要认一个新的爸爸 
		
	son[now_][w ^ 1] = fa_;//原来的爹成为了新的儿子 
	fa[fa_] = now_;//原来的爹要认自己的儿子为爹 
	Push_up(fa_), Push_up(now_);//更新 
    }

Splay操作/双旋优化旋转

Splay 规定每遍历到一个结点，都要将其旋转至根节点

再借个Oi-wiki的图，其中 \(x\) 是要旋转至根节点的节点

不难发现，如果在 3、4 情况下进行旋转，整棵树的深度不变

但我们知道，二叉搜索树的复杂度是与树的深度成正相关的，既然在上述情况不能降低树的深度，那么改如何做？

考虑这么一个双旋操作：

• 如果该节点和其父亲所处位置相同（都是左儿子或者都是右儿子），那么就先旋转该节点的父亲，再旋转该节点

可能看图更直观

借一下Lb的图

这样就可以有效减少树的深度。

也就是为什么遇到一个结点就将其旋转至根节点的原因：转的越多，树的结构就越均匀

代码实现：

 void Splay(int now_){//Splay函数
	for(; f; Rotate(now_)) //有父亲就再旋一次 （双旋）
		if(fa[f]) Rotate(Whichson(f) == Whichson(now_) ? f : now_);//双旋操作，如果父亲还有父亲并且有相同位置的儿子，那么先旋父亲再旋儿子 
	root = now_;//树根更换 
 }

其他的几个操作

这几个操作细节较多，但都是根据 Splay 的性质来做

• Insert(now_, fa_, val_)：插入一个数。该点权值小于插入权值，递归到左子树；否则递归到右子树；相等就更新；没有就新建。
• Find(now_, val_)：过程与 Insert 函数类似，存在返回 true，不存在返回 false
• Delete(val_)：先查询有无此数，若没有直接退出。删除时注意结点信息的清除和父子关系的改变，比较繁琐，建议直接看代码。
• QueryRank(val_):获取该数在树上的排名。一个简单的做法是：插入该数并将其旋转为根；查询左子树大小，答案为左子树大小+1；删除该数。正确性显然。
• QueryVal(rk_)：查询某排名的数的值。根据左子树大小进行递归
• QueryPre(val_)：查询某值的前驱。一个简单的做法是：插入该数并将其旋转为根；进入左子树不断想右儿子递归，不可递归时就是答案；删除该数。
• QueryNext(val_): 查询某个值的后继。和查询前驱类似。

板子代码

【模板】普通平衡树

Code

代码中带有详细注释，并且进行了封装

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 1e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;

int read(){
    int s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

namespace Splay{
    const int kMaxNode = MAXN;// 
    #define lson son[now_][0] 
    #define rson son[now_][1]
    #define f fa[now_]
    int node_num, root, fa[MAXN], son[MAXN][2];//分别存父亲结点 和儿子节点（0左1右） 
    int val[MAXN], cnt[MAXN], siz[MAXN];//分别存储权值，在当前结点的出现次数，这棵子树的大小 
    int top, bin[MAXN];//垃圾桶 
    void Push_up(int now_){//更新子树大小 
    	siz[now_] = cnt[now_];
	if(lson) siz[now_] += siz[lson];
	if(rson) siz[now_] += siz[rson];
    }
    void Clear(int now_){//清除操作 
    	lson = rson = f = val[now_] = cnt[now_] = siz[now_] = 0;//当前点的所有东西都变成0 
	bin[++top] = now_;//放进垃圾桶里 
    }
    int NewNode(int fa_, int val_){//减少点用量？看来是 
	int now_ = top ? bin[top --] : ++ node_num;
	f = fa_, val[now_] = val_, siz[now_] = cnt[now_] = 1;
	return now_;
    }
    int Whichson(int now_){//查询now_是左儿子还是右儿子
	return now_ == son[f][1];
    }
    void Rotate(int now_){//旋转操作 
	int fa_ = f, w = Whichson(now_);//查询now_是左（右）儿子 
	if(fa[f]) son[fa[f]][Whichson(f)] = now_;//原父亲的父亲的儿子指向now_ 
	f = fa[f];//now_的父亲指向原父亲的父亲 
		
	son[fa_][w] = son[now_][w ^ 1];//父亲的新左儿子是now_的右儿子，父亲的新右儿子是now_的左儿子 
	fa[son[fa_][w]] = fa_;//原父亲的新儿子要认一个新的爸爸 
		
	son[now_][w ^ 1] = fa_;//原来的爹成为了新的儿子 
	fa[fa_] = now_;//原来的爹要认自己的儿子为爹 
	Push_up(fa_), Push_up(now_);//更新 
    }
    void Splay(int now_){//Splay函数
	for(; f; Rotate(now_)) {//有父亲就再旋一次 （双旋）
		if(fa[f]) Rotate(Whichson(f) == Whichson(now_) ? f : now_);//双旋操作，如果父亲还有父亲并且有相同位置的儿子，那么先旋父亲再旋儿子 
    	}
	root = now_;//树根更换 
    }
    void Insert(int now_, int fa_, int val_){//插入函数 
	if(now_ && val[now_] != val_) {//有根节点 并且 当前根节点不是要插的点 
            Insert(son[now_][val[now_] < val_], now_, val_);//如果比当前结点小就进入左儿子，否则进入右儿子 
	    return ;
	}
	if(val[now_] == val_) ++ cnt[now_];//如果是这个结点，cnt++ 
	if(!now_) {//如果没有点了，开一个新点 
	    now_ = NewNode(fa_, val_);//获取新点的点号 
	    if(f) son[f][val[f] < val_] = now_;//如果新点比父亲结点小就放左边，否则放右边 
	} 
	Push_up(now_), Push_up(f), Splay(now_);
    }
    int Find(int now_, int val_){//查询函数 
    	if(!now_) return false;//如果没有该节点，返回0 
	if(val_ < val[now_]) return Find(lson, val_);//如果比当前结点小。查询左子树 
	if(val_ == val[now_]) {//如果是这个结点， 顺便把这个点旋转到树的顶端（这样更新结点大小时只需要考虑根节点了 
	    Splay(now_);
	    return true;
	}
	return Find(rson, val_);//查询右子树 
    }
    void Delete(int val_){//删除操作 
	if(!Find(root, val_)) return ;//如果没找到这个点，直接返回 
	if(cnt[root] > 1){//如果当前结点出现次数超过1，直接减掉 
	    -- cnt[root];
	    Push_up(root);//更新一下 
	    return ;
	}
	int oldroot = root;//记录旧的树根 
	if(!son[root][0] && !son[root][1]){//如果左右儿子都没有 
	    root = 0;//把树根改为0 
	}
	else if(!son[root][0]){//如果没有左儿子 
	    root = son[root][1], fa[root] = 0;//让右儿子成为父亲，根节点没有父亲 
	}
	else if(!son[root][1]){//如果没有右儿子 
	    root = son[root][0], fa[root] = 0;//让左儿子成为父亲，根节点没有父亲 
	}
	else if(son[root][1] && son[root][0]) {//如果两个儿子都有 
	    int leftmax = son[root][0];//钦定选原根节点的前驱 
	    while(son[leftmax][1]) leftmax = son[leftmax][1];//找前驱 
	    Splay(leftmax);//将前驱提到跟结点上 
	    son[root][1] = son[oldroot][1], fa[son[root][1]] = root;//更新新节点的右儿子，原右儿子的父亲 
	}
	Clear(oldroot), Push_up(root);//清理原树根，更新新树根 
    }
    int QueryRank(int val_){//获取排名 （还可以用一种递归的方式去写，可能码量比较多？ 
    	Insert(root, 0, val_);//插入这个数 
	int ret = siz[son[root][0]] + 1;//排名就是左子树加1 
	Delete(val_);//删掉这个数 
	return ret;
    }
    int QueryVal(int rk_){//查询第rk_名的值 
	int now_ = root;//获取树根 
	while(true) {
	    if(!now_) return -1;//若没有树根，表示没有任何树，返回-1 
	    if(lson && siz[lson] >= rk_){//注意 = 此时一定在左子树内 
		now_ = lson;// 进入左子树 
	    } else{
		rk_ -= lson ? siz[lson] : 0; //减掉左子树中的点 （不含根 
		if( rk_ <= cnt[now_]) {//如果当前排名在根节点中 
		    Splay(now_);//将根节点转到树根 
		    return val[now_];//返回根节点的值 
		}
		rk_ -= cnt[now_];//减掉根节点中的排名 
		now_ = rson;//进入右子树 
	    }
	}
    }
    int QueryPre(int val_){//获取前驱 
	Insert(root, 0, val_);//插入这个点 
	int now_ = son[root][0];//答案一定在左子树中 
	while(rson) now_ = rson;//找前驱 
	Delete(val_);//删掉刚刚插入的点 
	return val[now_];//返回当前点的值 
    }
    int QueryNext(int val_){//获取后继 
	Insert(root, 0, val_);//插入这个点 
	int now_ = son[root][1];//答案一定在柚子树中 
	while(lson) now_ = lson;//找后继 
	Delete(val_); //删掉刚刚插入的点 
	return val[now_];//返回当前点的值 
    }
}

int main()
{
    int n = read();
    while(n--){
	int opt = read(), x = read();
	if(opt == 1) {//插入x数 
	    Splay::Insert(Splay::root, 0, x);
	} else if(opt == 2){//删除x数 
	    Splay::Delete(x);
	} else if(opt == 3){//获取排名 
	    printf("%d\n", Splay::QueryRank(x));
	} else if(opt == 4){//查询第x名是哪个数 
	    printf("%d\n", Splay::QueryVal(x));
	} else if(opt == 5){//求x的前驱 
	    printf("%d\n", Splay::QueryPre(x));
	} else if(opt == 6){//求x的后驱 
	    printf("%d\n", Splay::QueryNext(x));
	}
    }
    return 0;
}